[論文レビュー] Taniguchi Lecture on Principal Bundles on Elliptic Fibrations

Ron Donagi|ArXiv.org|Feb 12, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、カマラル被覆と特徴的なプリム多様体を用いて、楕円曲線ファイブレーション $X \to S$ 上の主 $G$-バンドルのモジュライ空間の幾何的記述を確立する。ファイブレーションのファイバーが、Hitchinの可積分系およびエリスティック/F理論双対性に結びつく、$Prym_\Lambda(\widetilde{S})$ に同型であることを示している。

ABSTRACT

In this talk we discuss the description of the moduli space of principal G-bundles on an elliptic fibration X-->S in terms of cameral covers and their distinguished Prym varieties. We emphasize the close relationship between this problem and the integrability of Hitchin's system and its generalizations. The discussion roughly parallels that of [D2], but additional examples are included and some important steps of the argument are illustrated. Some of the applications to heterotic/F-theory duality were described in the accompanying ICMP talk (hep-th/9802093).

研究の動機と目的

• 楕円ファイブレーション $X \to S$ 上の主 $G$-バンドルのモジュライ空間 $\mathcal{M}^G_X$ を、カマラル被覆やプリム多様体といった幾何的不変量を用いて記述すること。
• 主 $G$-バンドルのモジュライ空間とHitchin系の可積分性およびその一般化との関係を明確にすること。
• 特にカルラビ＝ヤウコンパクト化の文脈において、エリスティック/F理論双対性を理解するための幾何的枠組みを提供すること。
• 楕円曲線に対する $\mathcal{M}^G_E$ の既知の記述を、基底 $S$ 上のファミリーに一般化し、ファイブレーション $\mathcal{M}^G_X \to \Gamma(S, \mathcal{M}^G_{X/S})$ のファイバーを分析すること。
• カマラル被覆 $\widetilde{S} \to S$ 上のファイバーと特徴的なプリム多様体 $Prym_\Lambda(\widetilde{S})$ 間に非標準的同型を確立すること。

提案手法

• モジュライ空間の分解を3段階で行う：(1) 単一の楕円曲線 $E$ 上の $G$-バンドルの分類、(2) ファイバーごとのバンドルをパラメトライズするファミリー $\mathcal{M}^G_{X/S} \to S$ の構成、(3) ファイブレーション $\mathcal{M}^G_X \to \Gamma(S, \mathcal{M}^G_{X/S})$ の分析。
• $\mathcal{M}^G_E$ を、$\mathcal{M}^T_E \cong E^r$ である $T$-バンドルのモジュライ空間と、Weyl群 $W$ による商 $\mathcal{M}^T_E / W$ として特定すること。
• $\Gamma(S, \mathcal{M}^G_{X/S})$ が、普遍的 $T$-バンドルモジュライ空間からの引き戻しによって、$W$-ガロア的カマラル被覆 $\widetilde{S} \to S$ をパラメトライズする重み付き射影空間であることを示すこと。
• モジュライ空間 $\mathcal{M}^G_X$ の、$\Gamma(S, \mathcal{M}^G_{X/S})$ のセクション $s$ に対応するファイバーが、$Hom_W(\Lambda, Pic(\widetilde{S}))$ から $H^2(W, \Lambda)$ へのホモーレジスムの核として定義される特徴的なプリム多様体 $Prym_\Lambda(\widetilde{S})$ に同型であることを確立すること。
• $\mathcal{M}^C_E$ 上のPoincaréバンドルの存在を用いて、$W$-可換な準同型 $\mathcal{M}^C_E \times (G/B)^C \to \mathcal{M}^T_E$ を構成し、これがモジュライ空間のレベルで望ましい同型を誘導すること。
• 半単純元の正規化中心 $C$ を、半単純部とユニポテンツ部に分解し、$Maps_W((G/B)^C, \mathcal{M}^T_E) \to \mathcal{M}^C_E$ が、$W$-可換性の確認と中心化子成分の分解により同型であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円ファイブレーション $X \to S$ 上の主 $G$-バンドルのモジュライ空間は、カマラル被覆とプリム多様体を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 $\Gamma(S, \mathcal{M}^G_{X/S})$ のセクションに対応する $\mathcal{M}^G_X$ のファイバーの正確な幾何的構造は何か？
• RQ3 モジュライ空間の構成は、Hitchin系の可積分性およびその一般化とどのように関係しているか？
• RQ4 特徴的なプリム多様体 $Prym_\Lambda(\widetilde{S})$ は、楕円ファイブレーション上の $G$-バンドルの分類において果たす役割は何か？
• RQ5 F理論コンパクト化の文脈において、他の群と同様に $G = E_8$ の場合のモジュライ空間も記述可能か？

主な発見

• 楕円曲線 $E$ 上の主 $G$-バンドルのモジュライ空間 $\mathcal{M}^G_E$ は、$\mathcal{M}^T_E / W$ に同型であり、ここで $\mathcal{M}^T_E \cong E^r$ はアーベル多様体であり、$W$ はWeyl群である。
• $\Gamma(S, \mathcal{M}^G_{X/S})$ は重み付き射影空間であり、普遍的 $T$-バンドルモジュライ空間からの引き戻しによって、$W$-ガロア的カマラル被覆 $\widetilde{S} \to S$ をパラメトライズする。
• $\Gamma(S, \mathcal{M}^G_{X/S})$ の点に対応する $\mathcal{M}^G_X$ のファイバーは、$Hom_W(\Lambda, Pic(\widetilde{S}))$ から $H^2(W, \Lambda)$ へのホモーレジスムの核として定義される特徴的なプリム多様体 $Prym_\Lambda(\widetilde{S})$ に同型である。
• $G$ が $E_n$ 型の場合、カマラル被覆は、デル・ペッツォのファイバーをもつファイブレーション $U \to S$ に置き換えられ、このとき $\mathcal{M}^G_X$ のファイバーは相対的デリーニュコhomology群 $\mathcal{D}(U/S)$ に同型であり、その連結成分は相対的中間ジャコビアン $J_3(U/S)$ である。
• 同型 $Maps_W((G/B)^C, \mathcal{M}^T_E) \to \mathcal{M}^C_E$ の構成は、$W$-可換性と正規化中心 $C = C_{ss} \times C_{unip}$ の分解によりなされ、半単純部が $({\mathcal{M}^T_E})^W$ を与え、ユニポテンツ部が $E$ に依存しない $C_{unip}$ を与える。
• この同型は非標準的であり、ファイバーはプリム多様体上の非自明な torsor である。これはモジュライ問題の幾何的性質を反映している。