[論文レビュー] Tannaka-Krein duality for compact groupoids II, Fourier transform

Massoud Amini|ArXiv.org|Aug 27, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクト群の群の双対性を一般化し、非可換フーリエ変換を構築し、$L^2$-関数に対するプランシュレルの定理を証明することで、コンパクト群の群にTannaka-Krein双対性を拡張する。$L^2(\tilde{\frak{G}})$ と $L^2(\frak{G})$ の間に等長同型写像を確立し、同型群の群における中心関数のための対角的プランシュレルの定理を証明する。

ABSTRACT

In a series of papers, we have shown that from the representation theory of a compact groupoid one can reconstruct the groupoid using the procedure similar to the Tannaka-Krein duality for compact groups. In this part we study the Fourier and Fourier-Plancherel transforms and prove the Plancherel theorem for compact groupoids. We also study the central functions in the algebra of square integrable functions on the isotropy groups.

研究の動機と目的

• コンパクト群からコンパクト群の群へのフーリエおよびプランシュレルの定理の一般化を図ること。
• Banach代数バンドル $L^1(\frak{G})$ におけるフーリエ変換を定義し、$L^2(\frak{G})$ への拡張を行うこと。
• $L^2(\frak{G})$ と $L^2(\hat{\frak{G}})$（既約表現の双対空間）との間の全射的等長同型写像を確立すること。
• 中心関数および $L^2(\frak{G})$ 内の中心的要素、特に同型群の群 $\frak{G}'$ におけるものについて研究すること。
• 共役類の空間 ${\frak{G}'}^{\frak{G}}$ における中心関数のための対角的プランシュレルの定理を証明すること。

提案手法

• 関数 $f \in L^1(\mathcal{G}_u^v)$ に対して、$\mathfrak{F}_{u,v}(f)(\pi) = \int_{\mathcal{G}_u^v} f(x) \pi(x^{-1}) d\lambda_u^v(x)$ を定義し、$\mathcal{B}(\mathcal{H}_v^\pi, \mathcal{H}_u^\pi)$ への写像とする。
• 無限遠で消える連続的切断をなす $C_0(\hat{\frak{G}}, \mathcal{B}(\mathcal{H}))$ におけるグローバルフーリエ変換 $\mathfrak{F}(f)$ を構成する。
• $g \in C_c(\hat{\frak{G}})$ に対して、$\check{g}(x) = \sum_{\pi \in \hat{\frak{G}}} d_u^\pi g(\pi) \overline{\chi_v^\pi(x)}$ を用いて逆フーリエ変換 $\check{g}$ を定義する。
• $C_c(\hat{\frak{G}})$ に内積 $\langle g,h \rangle = \sum_{\pi} (d_u^\pi)^2 \overline{g(\pi)} h(\pi)$ を定義し、ヒルベルト空間構造を導入する。
• 逆フーリエ変換 $\check{}$ が $L^2(\hat{\frak{G}})$ から $L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}})$（共役群の群上の平方可積分関数の空間）への等長写像に一意に拡張されることを証明する。
• 中心的要素を共役作用に関して不変な関数として特徴づけ、$L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}}) \simeq \mathfrak{C}L^2(\frak{G}')$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト群からコンパクト群の群へのフーリエ変換をどのように一般化できるか。
• RQ2 既約表現の双対空間 $\hat{\frak{G}}$ の構造は何か。また、共役群の群 $\frak{G}^{\frak{G}}$ とどのように関係しているか。
• RQ3 プランシュレルの定理をコンパクト群の群に拡張できるか。中心関数の場合、その形はどのようなものか。
• RQ4 スペクトル測度 $d(\{\pi\}) = (d_u^\pi)^2$ は双対性および等長性において果たす役割は何か。
• RQ5 逆フーリエ変換およびプランシュレルの等長写像は、中心関数の部分代数上でどのように振る舞うか。

主な発見

• フーリエ変換 $\mathfrak{F}_{u,v}(f)$ は、$f \in L^1(\mathcal{G}_u^v)$ を $\mathcal{B}(\mathcal{H}_v^\pi, \mathcal{H}_u^\pi)$ に写像する積分作用素として定義され、$C_0(\hat{\frak{G}}, \mathcal{B}(\mathcal{H}))$ の連続的切断をなす。
• 関数 $g \in C_c(\hat{\frak{G}})$ に対する逆フーリエ変換 $\check{g}$ は、$\check{g} * f = f * \check{g}$ を満たし、畳み込みと可換であることが示される。
• 逆フーリエ変換 $\check{}$ は、$L^2(\hat{\frak{G}})$ から $L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}})$（共役群の群上の平方可積分関数の空間）への一意的な全単射線形等長写像に拡張される。
• 対角的プランシュレルの定理が成り立つ：$\hat{}: L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}}) \to L^2(\hat{\frak{G}})$ は $\check{}$ の逆写像であり、$\langle \check{g}, \check{h} \rangle = \langle g, h \rangle$ が成り立つ。
• 中心的要素の空間 $\mathfrak{C}L^2(\frak{G})$ は、$L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}})$ に等長同型写像で同型であり、その同型写像は射影 $q: \frak{G}' \to {\frak{G}'}^{\frak{G}}$ によって誘導される。
• スペクトル測度 $d(\{\pi\}) = (d_u^\pi)^2$ は、$C_c(\hat{\frak{G}})$ 上の内積を定義するために用いられ、プランシュレルの等長写像がノルムを保存することを保証する。