[論文レビュー] Tannakian Categories attached to abelian Varieties

Rainer Weissauer|ArXiv.org|Apr 10, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アーベル多様体 $X$ 上の $\overline{\mathbb{Q}}_l$-層の導来圏を、平行移動不変な複体で割ったものから、超Tannakian圏を構成し、畳み込みに関して閉じた複体からなる倍加子の族が、あるプロ超群 $G(X)$ の表現の圏に同値な、剛性があり、半単純なテンソル圏であることを示している。主な結果として、標準的偏極をもつアーベル多様体に対して $G(X,Y)$ が $Sp(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}[2]$ または $Sl(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}$ に同型であることが特定され、Tannakian群とジャコビアンの幾何が結びつけられる。

ABSTRACT

Starting from certain perverse sheaves on an abelian variety, including the intersection cohomology sheaves of curves and smooth ample divisors, we construct a semisimple super-Tannakian category.

研究の動機と目的

• アーベル多様体上の $\overline{\mathbb{Q}}_l$-層の導来圏を、平行移動不変な複体で割ったものからTannakian圏を構成すること。
• 畳み込みに関して閉じた複体からなる倍加子の族が、剛性があり、半単純なテンソル圏であることを特定すること。
• 標準的偏極をもつアーベル多様体における倍加子圏のTannakian群が、曲線の双曲的性質に応じて $Sp(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}[2]$ または $Sl(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}$ に同型であることを示すこと。
• 標準的偏極をもつアーベル多様体が、ある曲線のジャコビアンとして現れるための必要十分条件として、そのTannakian群がこれらの二つの群のいずれかに一致することを予想すること。

提案手法

• 平行移動不変な複体を商することで、$\overline{D}_{c}^{b}(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ を定義する。
• 畳み込みを商圏 $\overline{Perv}(X)$ に保つ perverse sheaf を「倍加子」として定義する。
• 倍加子の圏 $\overline{M}(X)$ が、剛性があり、半単純で、$\overline{\mathbb{Q}}_l$-線型なテンソル圏であることを確立する。
• ファイバー関手 $\omega$ を用いて、$\overline{M}(X)$ をプロ超群 $G(X)$ の表現の圏として実現する。
• Tannakian形式的論法を用いて、$\overline{M}(X)$ が $Rep(G(X), \varepsilon)$ に同値であることを示し、$G(X)$ が超群の射影極限であることを示す。
• 標準的偏極 $Y$ に対して、$\delta_Y$ が生成する部分圏のTannakian群 $G(X,Y)$ を計算し、それが $Sp(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}[2]$ または $Sl(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}$ に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル多様体上の倍加子圏のTannakian群が、いつ $Sp(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}[2]$ または $Sl(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}$ に同型になるか。
• RQ2 アーベル多様体 $X$ 内の除集合 $Y$ が、商圏内で畳み込みに関して閉じる（すなわち倍加子である）ための条件は何か。
• RQ3 標準的偏極をもつアーベル多様体のTannakian群 $G(X,Y)$ は、関連する曲線の幾何とどのように関係するか。
• RQ4 Tannakian群 $G(X,Y)$ が、アーベル多様体が曲線のジャコビアンであることを一意に特徴づけることができるか。
• RQ5 特徴標数 0 または正標数のアーベル多様体におけるTannakian圏の構成において、重みフィルトレーションと純粋性は果たす役割は何か。

主な発見

• アーベル多様体 $X$ 上の倍加子の圏 $\overline{M}(X)$ は、剛性があり、半単純で、$\overline{\mathbb{Q}}_l$-線型なテンソル圏であり、あるプロ超群 $G(X)$ の表現の圏に同値である。
• 標準的偏極 $Y$ に対して、Tannakian群 $G(X,Y)$ は、関連する曲線が双曲的である場合に $Sp(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}[2]$ に同型であり、そうでない場合には $Sl(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}$ に同型である。
• $G(X,Y)$ の表現 $W = \omega(\delta_Y)$ は、$G(X,Y)$ の標準表現の $(g-1)$ 乗外積に現れる唯一の最高重量表現である。
• 滑らかで十分なアーベル多様体 $Y$ の交差コホホロジー層 $\delta_Y$ は倍加子であり、畳み込みが商圏 $\overline{Perv}(X)$ を保つ。
• $\overline{D}_{c}^{b}(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ 上の畳み込み積は適切に定義され、テンソル構造を尊重するため、Tannakian形式的論法が適用可能である。
• Tannakian群 $G(X,Y)$ が既知のジャコビアンの群と一致するという事実により、この予想は裏付けられており、ジャコビアンがそのTannakian群によって特徴づけられることを示唆している。