[論文レビュー] Tapering off qubits to simulate fermionic Hamiltonians

Sergey Bravyi, Jay Gambetta+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 36被引用数 185

ひとこと要約

この論文は、対称性を利用したフェルミオン系の量子ビット効率的エンコードを開発し、第一量子化および第二量子化のアプローチと LDPC ベースの疎性手法を用いてフェルミオン・ハミルトニアンをシミュレートし、変分量子アルゴリズムのための必要量子ビット数を削減可能にする。

ABSTRACT

We discuss encodings of fermionic many-body systems by qubits in the presence of symmetries. Such encodings eliminate redundant degrees of freedom in a way that preserves a simple structure of the system Hamiltonian enabling quantum simulations with fewer qubits. First we consider $U(1)$ symmetry describing the particle number conservation. Using a previously known encoding based on the first quantization method a system of $M$ fermi modes with $N$ particles can be simulated on a quantum computer with $Q=N\log{(M)}$ qubits. We propose a new version of this encoding tailored to variational quantum algorithms. Also we show how to improve sparsity of the simulator Hamiltonian using orthogonal arrays. Next we consider encodings based on the second quantization method. It is shown that encodings with a given filling fraction $ν=N/M$ and a qubit-per-mode ratio $η=Q/M<1$ can be constructed from efficiently decodable classical LDPC codes with the relative distance $2ν$ and the encoding rate $1-η$. A family of codes based on high-girth bipartite graphs is discussed. Graph-based encodings eliminate roughly $M/N$ qubits. Finally we consider discrete symmetries, and show how to eliminate qubits using previously known encodings, illustrating the technique for simple molecular-type Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 粒子数保存などの対称性を活用して量子ハードウェア上でフェルミオン系の効率的なシミュレーションを動機づける。
• 必要な量子ビット数を削減しつつ、扱いやすいハミルトニアン構造を保つエンコーディングを開発する。
• 実用的な変分量子アルゴリズムを可能にするスパースなシミュレータを構築する体系的手法を提供する。
• 第一量子化と第二量子化の両方に基づくエンコーディングを探究し、それらのスケーラビリティと適用性を分析する。

提案手法

• エンコーディングを N 個粒子ターゲット空間から Q 個量子ビット・シミュレータ空間への等長写像として定義し、H_sim E = E H_tgt を満たし、コード空間に基底状態を持つ。
• 第一量子化では、反対称性を課すペナルティ項を持つ、スパースな反対称性を有する第一量子化シミュレータハミルトニアン H_sim = T + U + g H^⊥ を構築する。
• Rao–Hamming 正交配列表を用いて H_sim を r 個のスパースな基底対角項に分解し、r ≈ 9^m（m = log2 M）で測定を効率化する。
• Schur 双対性を介してコード空間における H_sim の基底状態エネルギーがターゲットの基底エネルギーと一致することを示し、ノルムを界づける g を制御可能とする。
• 第二量子化では、効率的にデコード可能な古典 LDPC コードからエンコーディングを構築し、量子ビット per mode 比 η および充填 ν を得て、ノルムが制約されたスパースシミュレータを実現する。
• Z2 対称性と、パリティベースのエンコーディングを用いて量子ビットを削除する方法について、分子様ハミルトニアンの例を挙げて解説する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして H_tgt の低エネルギースペクトルを保ちつつフェルミオンシミュレーションにおける量子ビットを削減できるか。
• RQ2 粒子数保存や Z2 パリティなど、ハミルトニアン構造を崩さずに量子ビットを減らせる対称性は何か。
• RQ3 与えられた充填比と量子ビット予算で、シミュレータハミルトニアンをどれだけスパースにできるか。
• RQ4 LDPC や高サバリグビットグラフなど、フェルミオンシミュレーションの実用的で効率的にデコード可能なエンコーディングを提供するコーディング理論的構成は何か。
• RQ5 第一量子化と第二量子化のエンコーディングは、適用性とスパース性の点で変分アルゴリズムにおいてどのように比較されるか。

主な発見

• 第一量子化様のスパースなエンコーディングで、Q = N log2(M) 量子ビットの場合、N が小さいときにシミュレータの疎性 r ≤ 9 M^3.17 を満たし、量子ビット使用を削減可能。
• LDPC コードに基づく第二量子化エンコーディングは、 ν = N/M の下で η = Q/M < 1 を達成でき、1/4 未満の ν であれば M/N に比例した量子ビット削減を実現。
• 高ゲート長の双対二部グラフを用いたグラフベース LDPC エンコーディングは、概ね M/N 個の量子ビットを除去し、特定の演算子に対して 2-sparse 的な二体および 32-sparse 的な四体シミュレータを提供。
• Z2 対称性（パリティ）は、系統的に量子ビットを削除するのに利用でき、分子様ハミルトニアンで具体例を示す。
• 第一量子化エンコーディングは最も大きな量子ビット削減を提供するが小さな N に限られ、第二量子化エンコーディングはより広く適用可能で、より疎なシミュレータを生む。