[論文レビュー] Tarski's Theorem, Supermodular Games, and the Complexity of Equilibria

Kousha Etessami, Christos H. Papadimitriou+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単調関数の離散グリッド上におけるタルスキの定理が保証する不動点を求める計算複雑性、およびそのスーパー・モジュラー・ゲームと確率的ゲームへの応用を調査する。本稿は、任意の不動点を求めることがPLSおよびPPADに属することを確立し、2次元ではΩ(log²N)のクエリが必要（O(log²N)の上界と一致）、最大または最小の不動点を求めるのはNP困難であることを示す。本研究は、タルスキの不動点定理とゲーム理論および検証分野の根本的問題との深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

The use of monotonicity and Tarski's theorem in existence proofs of equilibria is very widespread in economics, while Tarski's theorem is also often used for similar purposes in the context of verification. However, there has been relatively little in the way of analysis of the complexity of finding the fixed points and equilibria guaranteed by this result. We study a computational formalism based on monotone functions on the $d$-dimensional grid with sides of length $N$, and their fixed points, as well as the closely connected subject of supermodular games and their equilibria. It is known that finding some (any) fixed point of a monotone function can be done in time $\log^d N$, and we show it requires at least $\log^2 N$ function evaluations already on the 2-dimensional grid, even for randomized algorithms. We show that the general Tarski problem of finding some fixed point, when the monotone function is given succinctly (by a boolean circuit), is in the class PLS of problems solvable by local search and, rather surprisingly, also in the class PPAD. Finding the greatest or least fixed point guaranteed by Tarski's theorem, however, requires $d\cdot N$ steps, and is NP-hard in the white box model. For supermodular games, we show that finding an equilibrium in such games is essentially computationally equivalent to the Tarski problem, and finding the maximum or minimum equilibrium is similarly harder. Interestingly, two-player supermodular games where the strategy space of one player is one-dimensional can be solved in $O(\log N)$ steps. We also observe that computing (approximating) the value of Condon's (Shapley's) stochastic games reduces to the Tarski problem. An important open problem highlighted by this work is proving a $Ω(\log^d N)$ lower bound for small fixed dimension $d \geq 3$.

研究の動機と目的

• 有限グリッド上の単調関数に対してタルスキの定理が保証する不動点を求める計算複雑性を分析すること。
• スーパー・モジュラー・ゲームにおける均衡の計算の複雑性を調査し、タルスキの不動点問題との関連を解明すること。
• シャープリーの確率的ゲームにおける価値計算問題をタルスキの不動点問題へ還元すること。
• ブラックボックス・モデルにおける確率的アルゴリズムのクエリ複雑性に対して、特に2次元においてタイトな下界を確立すること。
• タルスキ問題が属する正確な複雑度クラス（PLS、PPAD、CLS、EOPL）を特定すること。

提案手法

• ブラックボックス・オракル・モデルを用いて、単調関数 f: [N]^d → [N]^d の不動点を求めるクエリ複雑性を分析する。
• 単調性を活用して次元を低減する、d番目の座標における再帰的二分探索アルゴリズムを採用し、O(log^d N)の時間計算量を達成する。
• 2次元における下界構成として「ヘリングボーン関数」を導入し、確率的アルゴリズムがΩ(log²N)の期待クエリ数を必要とすることを証明する。
• 離散化と収縮写像を用いて、シャープリーの割引付き確率的ゲームにおける価値ベクトルの近似問題をタルスキの不動点問題へ還元する。
• コンドンのシンプル・ステージスティック・ゲームの価値計算問題を、離散グリッド上での単調かつ多項式時間で計算可能な関数を構築することで、タルスキ問題へ還元する。
• タルスキ問題が、回路に基づく要約表現を用いて、PLS（局所探索）およびPPAD（ブロウワー型不動点問題）の両方に属することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックボックス・モデルにおいて、d次元グリッド上での単調関数の不動点を求めるクエリ複雑度は何か？
• RQ2 d ≥ 3 の高次元において、不動点計算のO(log^d N)上界が下界によって達成可能か？
• RQ3 CLS や EOPL のような既知の全関数複雑度クラスに対して、タルスキの不動点問題は完全か？
• RQ4 任意の不動点を求めるのと比較して、最大または最小の不動点を求める複雑度はどの程度異なるか？
• RQ5 確率的ゲームの価値計算を、タルスキの不動点問題へどの程度還元できるか？

主な発見

• 2次元ブラックボックス・モデルにおいて、任意の確率的アルゴリズムは、タルスキの不動点を求めるために期待してΩ(log²N)のクエリを必要とし、これはO(log²N)の上界と一致する。
• タルスキの不動点問題は、PLSおよびPPADの両方に属しており、全関数複雑度の2つの主要クラスの間の驚くべき関係を示している。
• 最大または最小の不動点を求めるのは、ホワイトボックス・モデルではNP困難であり、ブラックボックス・モデルではΩ(dN)の時間が必要となる。
• シャープリーの割引付き確率的ゲームの価値を加法的誤差ϵの範囲内で計算することは、タルスキ問題へ多項式時間還元可能である。
• コンドンのシンプル・ステージスティック・ゲームの正確な価値を計算することも、タルスキ問題へ多項式時間還元可能である。
• 1人のプレイヤーが1次元戦略空間を有する2人プレイヤーのスーパー・モジュラー・ゲームにおいて、ナッシュ均衡をO(log N)時間で計算可能である。