[論文レビュー] TASEP with Discontinuous Jump Rates

Nicos Georgiou, Rohini Kumar+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、均一TASEPの挙動から導かれる変分公式を用いて、不連続な遷移レートを有する完全非対称的単純排除過程（TASEP）の流体力学的極限を確立する。不変分布の知識がなくても、極限密度プロファイルが不連続なフラックスを有するスカラー保存則のエントロピー解であることが示され、ハミルトニアン・ジャコビ双対性を用いてこれらのプロファイルの明示的公式が得られる。

ABSTRACT

We prove a hydrodynamic limit for the totally asymmetric simple exclusion process with spatially inhomogeneous jump rates given by a speed function that may admit discontinuities. The limiting density profiles are described with a variational formula. This formula enables us to compute explicit density profiles even though we have no information about the invariant distributions of the process. In the case of a two-phase flow for which a suitable p.d.e. theory has been developed we also observe that the limit profiles are entropy solutions of the corresponding scalar conservation law with a discontinuous speed function.

研究の動機と目的

• 空間的に不均一で不連続な遷移レートを有するTASEPの流体力学的極限を確立すること。
• 明示的な不変分布が存在しない場合でも、極限的なマクロな密度プロファイルを特徴付けること。
• 粒子系の挙動と不連続フラックス関数を有するスカラー保存則のエントロピー解との関係を確立すること。
• ハミルトニアン・ジャコビ方程式に基づく変分形式を用いて、密度プロファイルの明示的公式を提供すること。
• 2相系において、凸双対性と経路最適化を用いてTASEPが一意なエントロピー解を選択することを示すこと。

提案手法

• 既知の均一TASEPの挙動を基に、流体力学的極限のための変分公式を導出すること。
• 凸双対性を適用して、微視的ハミルトニアン・ジャコビ方程式とマクロ的保存則を関連させること。
• 変分公式における区分的線形経路最適化を用いて、明示的な密度プロファイルを計算すること。
• 経路の勾配がエントロピー条件を満たす場合に上限が達成されることを示し、解がエントロピー解と一致することを証明すること。
• 双対性と経路制約を用いて、粒子系の極限と不連続保存則のエントロピー解との間の同等性を確立すること。
• 最近の不連続フラックスに関するPDE理論を活用し、一意な物理的に適切な解が選択されることを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変分布が不明な場合、不連続な遷移レートを有するTASEPの流体力学的極限はどのように振る舞うか？
• RQ2 均一TASEPに基づく変分公式は、不均一系の明示的マクロ密度プロファイルを導けるか？
• RQ3 不連続レートを有するTASEPは、対応するスカラー保存則の一意なエントロピー解を選択するか？
• RQ4 凸双対性は、微視的ハミルトニアン・ジャコビ形式とマクロ的保存則を結ぶ役割を果たすか？
• RQ5 極限プロファイルは、初期密度プロファイルと速度関数の不連続構造にどのように依存するか？

主な発見

• 不変分布の知識を必要としない変分公式を用いて、流体力学的極限が確立された。
• ハミルトニアン・ジャコビ方程式から導かれる変分公式を用いて、極限密度プロファイルが明示的に計算可能である。
• 区分的定数速度関数を有する2相系では、TASEPがスカラー保存則の一意なエントロピー解を選択する。
• 解は、区分的線形経路の上での上限として特徴付けられ、最適な経路はエントロピー条件 $ w'(s)c(w(s))^{-1} \in [-1,1] $ を満たす。
• 凸双対性により、フラックス $ \widetilde{F}(x,\rho) = c(x)f(\rho) $ を用いた変分公式が、標準的フラックス $ F(x,\rho) = c(x)h(\rho) $ と同じ解を与えることが確認され、エントロピー理論と整合的であることが保証された。
• 変分表現を用いて、ステップ関数などの特定の初期条件に対して、密度プロファイルの閉形式での明示的公式が導出された。