[論文レビュー] Tate module tensor decompositions and the Sato-Tate conjecture for certain abelian varieties potentially of $\mathrm{GL}_2$-type

Francesc Fité, Xavier Guitart|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、数体上の幾何的に同型型のアーベル多様体、特にGL₂型である可能性のあるものについて、ℓ-adic Tateモジュールのテンソル分解を確立する。ガロア理論的およびコhomologicalな手法を用いて、特に、自己準同型代数が二次体上のクaternion代数である場合、または関連するモジュラーなアーベル多様体がそのモジュラリティ体に次数制約を満たす場合を含む一定の条件下で、そのような多様体に対するSato–Tate予想を証明する。

ABSTRACT

We introduce a tensor decomposition of the $\ell$-adic Tate module of an abelian variety $A_0$ defined over a number field which is geometrically isotypic. If $A_0$ is potentially of $\GL_2$-type and defined over a totally real number field, we use this decomposition to describe its Sato--Tate group and to prove the Sato--Tate conjecture in certain cases.

研究の動機と目的

• 数体上の幾何的に同型型のアーベル多様体のための、一般化されたTateモジュールのテンソル分解を構築すること。
• この分解を用いて、GL₂型である可能性のあるアーベル多様体のSato–Tate群を記述すること。
• Sato–Tate予想を、自動形式L関数と整合性のある系への関連付けによって、新たな場合に証明すること。
• クaternion乗法または実乗法をもつ高次元の場合への既知のモジュラーなアーベル多様体の結果を拡張すること。
• 特にTaylorおよびFitfiのQMおよびCMアーベル曲面に関する先行研究の構成を統一・一般化すること。

提案手法

• 有限Galois拡大k/k₀上で、Artin表現とℓ-adic表現のテンソル積の和としてTateモジュールのテンソル分解を構成する。
• Galoisコhomologyを用いて、射影表現を真の表現に引き上げる障害を分析し、それらがH²(Gk, M×)における逆元クラスであることを示す。
• 全実体上のGL₂型である可能性のあるアーベル多様体に対して、Wuの整合性のあるℓ-adic表現系の理論を適用する。
• base changeおよび降下技術を用いて、整合性のある系から対称べきやtwistへの自動形式性の性質を移す。
• Brauerの誘導定理および非同型のbase-changed系に関する結果を用いて、部分L関数の正則性および非消滅性を証明する。
• 潜在的自動形式性定理（例：BLGGT14）を活用し、Sato–Tate予想における等分布性に必要な解析的性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的に同型型のアーベル多様体A₀のTateモジュールは、Artin表現と整合性のあるℓ-adic表現のテンソル積として分解可能か？
• RQ2 複素乗法を持たないGL₂型である可能性のあるアーベル多様体に対して、Sato–Tate予想が成り立つ条件は何か？
• RQ3 自己準同型代数とGalois作用から、Sato–Tate群を明示的に決定できるか？
• RQ4 モジュラリティ体は、関連するL関数の自動形式性および解析的挙動にどのような役割を果たすか？
• RQ5 クaternion乗法または実乗法をもつ高次元のモジュラーなアーベル多様体に対して、Sato–Tate予想をどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 数体k₀上の単純かつ幾何的に同型型のアーベル多様体A₀のℓ-adic Tateモジュールは、有限Galois拡大k/k₀上で、ℓ-adic表現とArtin表現のテンソル積の和としてテンソル分解可能である。
• A₀が全実体上でGL₂型である可能性をもち、潜在的CMを持たない場合、Sato–Tate群はテンソル分解とGalois群の作用によって決定される。
• 自己準同型代数が二次体上のクaternion代数であるアーベル多様体に対して、Sato–Tate予想は、モジュラリティ体K₀/k₀が可解である限り証明される。
• 重さ2、レベルNの非CM新形式fに付随するモジュラーなアーベル多様体に対して、Sato–Tate予想は、Mf = Q({a²ₘ/ε(m)})がQ上での次数が2以下である限り成り立つ。
• このようなモジュラー形式fのDirichlet指標によるtwistはMfを保ち、したがってSato–Tate予想は任意に大きな次元のアーベル多様体へ拡張可能である。
• base change、降下、Brauerの誘導を用いて、対称べきおよび特徴指標に付随する部分L関数の解析的性質が確立され、正則性および非消滅性が保証される。