[論文レビュー] Tate motives and the fundamental group

Hélène Esnault, Marc Levine|ArXiv.org|Aug 29, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{P}^1_k \setminus S$ のデリーニュ＝ゴンチャロフのモチビック基本群と、$X$ 上の混合テートモチーフの圏のタンナカ双対との間の正確な対応を確立し、モチビック基本群が基底拡張における $k$ のタンナカ群の核に同型であることを示している。主な結果は、ベイリンソン＝スールェの消失予想とテートモチーフの仮定の下で、$\pi^\text{mot}_1(X,x)$ が $X$ のサイクル代数上の相対バーバルコンストラクションから生じる $\mathrm{MT}(k)$ 内のプロ群スキームとして特定されることを示している。

ABSTRACT

Let k be a number field, and let S be a finite set of k-rational points of P^1. We relate the Deligne-Goncharov contruction of the motivic fundamental group of X:=P^1_k- S to the Tannaka group scheme of the category of mixed Tate motives over X.

研究の動機と目的

• モチビック基本群 $\pi^{\text{mot}}_1(X,x)$ と $X$ 上の混合テートモチーフの圏のタンナカ群との間の明確な関係を確立すること。
• 適切なコホノロジー的消失条件の下で、モチビック基本群が基底拡張における $k$ のタンナカ群の核として自然に生じることを示すこと。
• サイクル代数 $X$ 上の相対バーバルコンストラクションを通じたモチビック基本群の幾何的実現を提供すること。
• ベイリンソンの $DM_{\text{gm}}(k)$ 内のインダクティブホープ代数構成を、$\mathrm{MT}(k)$ 内のタンナカ的枠組みへと拡張すること。
• $\pi^{\text{mot}}_1(X,x) \cong K_x$ を $\mathrm{MT}(k)$ 内のプロ群スキームとして証明すること、ここで $K_x$ は $X \to \text{Spec}(k)$ によって誘導されるタンナカ群写像の核である。

提案手法

• $k$ を数体とする $\mathrm{MT}(k)$ の混合テートモチーフの圏に対するタンナカ双対枠組みを用い、重みフィルトレーションと中立的ファイバー関手を備える。
• $X = \mathbb{P}^1_k \setminus S$ を $DM^\text{eff}(X)_{\mathbb{Q}}$ 内の微分付き代数的群として見るサイクル代数 $\mathcal{N}(X)$ にバーバルコンストラクションを適用する。
• ヴェドヴォスキーの $DM_{\text{gm}}(k)$ 内に存在する、$\mathrm{DMT}(k)$ に属するインダクティブホープ代数対象 $h_k(\mathcal{P}_a(X))$ を構成する。
• 等価関係 $H^0_\mathcal{N}(k) \circ \bar{B}_\mathcal{N}(k)(\mathcal{N}(X), i_x^*)$ を用いて、モチビック基本群 $\pi^{\text{mot}}_1(X,x)$ を $H^0(\bar{B}(\mathcal{N}(X)))$ の双対として特定する。
• 比較定理（定理 6.5.1）を適用し、$\mathcal{N}(X)$-加群の導来圏とタンナカ的圏 $\mathrm{MT}(k)$ を関連付ける。
• 写像 $p: X \to \text{Spec}(k)$ とセクション $i_x: \text{Spec}(k) \to X$ によって誘導されるタンナカ群の完全系列を用い、$K_x$ を群写像 $p_*$ の核として特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デリーニュ＝ゴンチャロフのモチビック基本群 $\pi^{\text{mot}}_1(X,x)$ は、$X$ 上の混合テートモチーフの圏のタンナカ群とどのように関係しているか？
• RQ2 モチビック基本群は、サイクル代数上のバーバルコンストラクションのような幾何的構成を通じて、$\mathrm{MT}(k)$ 内のプロ群スキームとして実現可能か？
• RQ3 $X$ と $k$ にどのような条件下で、モチビック基本群がタンナカ群写像 $G(\mathrm{MT}(X)) \to G(\mathrm{MT}(k))$ の核と一致するか？
• RQ4 モチビック基本群 $\pi^{\text{mot}}_1(X,x)$ と $\mathcal{N}(X)$ の $k$ 上の相対バーバルコンストラクションの相対双対の間には、自然な同型が存在するか？
• RQ5 ベイリンソン＝スールェの消失予想は、$\mathrm{DMT}(X)$ が心 $\mathrm{MT}(X)$ と同倣な $t$-構造を持つことを示唆するか？ これによりタンナカ双対が可能になるか？

主な発見

• モチビック基本群 $\pi^{\text{mot}}_1(X,x)$ は、$k$ が数体で、$X = \mathbb{P}^1_k \setminus S$（$S$ は $k$-有理点の有限集合）であるとき、構造写像 $X \to \text{Spec}(k)$ によって誘導されるタンナカ群写像 $p_*: G(\mathrm{MT}(X)) \to G(\mathrm{MT}(k))$ の核 $K_x$ と、$\mathrm{MT}(k)$ 内のプロ群スキームとして同型である。
• この同型は、$k$ が数体であり、$S$ が $k$-有理点の有限集合であるという条件下で成り立ち、ベイリンソン＝スールェの消失予想を満たす。
• $\mathfrak{h}_k(X)$ は $\mathrm{DMT}(k)$ に属しており、これによりタンナカ的圏 $\mathrm{MT}(X)$ が適切に定義され、心が $\mathrm{MT}(X)$ と同値な $t$-構造を持つことが保証される。
• サイクル代数 $\mathcal{N}(X)$ 上の相対バーバルコンストラクションによる $\pi^{\text{mot}}_1(X,x)$ の構成は、$\mathrm{MT}(k)$ 内のプロ群スキームをもたらし、タンナカ双対により $K_x$ と同型であることが示された。
• $K_x$ は $H^0_{\mathcal{N}(k)}(\bar{B}_{\mathcal{N}(k)}(\mathcal{N}(X), i_x^*))$ のスペクトルとして実現され、この対象は等価関係 $H^0_\mathcal{N}(k): \mathcal{H}^f_{\mathcal{N}(k)} \to \mathrm{MT}(k)$ の下で $\pi^{\text{mot}}_1(X,x)$ と特定される。
• この結果により、デリーニュ＝ゴンチャロフのモチビック基本群が、$\mathrm{MT}(k)$ 内のタンナカ的対象として自然に生じ、$X$ のサイクル代数上の相対バーバルコンストラクションに幾何的起源を持つことが確認された。