[論文レビュー] Tate Objects in Exact Categories (with appendix by Jan \vS\vtov\'ı\vcek and Jan Trlifaj)

Oliver Bräunling, Michael Groechenig+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、代数的幾学における無限次元ベクトル空間およびadfllesを一般化する、正確なカテゴリーにおけるTate対象の圏的枠組みを構築する。基本的Tate対象は、拡張に関して閉じており、適切なInd-およびPro-対象を含む最小の部分圏として特徴付けられ、Sato Grassmannianおよびn-Tate加群の基礎的性質が確立される。付録では、平坦Mittag-Leffler加群が、有限生成射影的加群上の適切なInd-対象のidempotent完備化として同定される。

ABSTRACT

We study elementary Tate objects in an exact category. We characterize the category of elementary Tate objects as the smallest sub-category of admissible Ind-Pro objects which contains the categories of admissible Ind-objects and admissible Pro-objects, and which is closed under extensions. We compare Beilinson's approach to Tate modules to Drinfeld's. We establish several properties of the Sato Grassmannian of an elementary Tate object in an idempotent complete exact category (e.g. it is a directed poset). We conclude with a brief treatment of n-Tate modules and n-dimensional adèles. An appendix due to J. \vS\vtov\'ı\vcek and J. Trlifaj identifies the category of flat Mittag-Leffler modules with the idempotent completion of the category of admissible Ind-objects in the category of finitely generated projective modules.

研究の動機と目的

• 任意の正確なカテゴリーにおけるTate対象の圏的枠組みを構築すること。これは、代数的幾学および数論における古典的構成を一般化する。
• 基本的Tate対象を、拡張に関して閉じており、適切なInd-およびPro-対象を含む最小の部分圏として特徴付けること。
• idempotent完備な正確なカテゴリーにおける基本的Tate対象のSato Grassmannianの基礎的性質を確立すること。
• 理論をn-Tate対象へと拡張し、Beilinson–Parshin adfllesおよび高次局所体と関連付けること。
• 平坦Mittag-Leffler加群の圏を、有限生成射影的加群上の適切なInd-対象のidempotent完備化として同定すること。

提案手法

• 正確なカテゴリーにおけるInd-対象およびPro-対象の形式的枠組みを用いて、離散的、線形コンパクト的、および局所的に線形コンパクト的な対象をモデル化する。
• 分類された帰納極限および分類された逆極限を用いて、分岐単射または全射を伴う有向系上で、適切なInd-およびPro-対象を導入する。
• 基本的Tate対象を、適切なPro-対象を適切なInd-対象で拡張したものとして定義し、拡張に関して閉じていることを保証する。
• 非アーベルな設定における大きな極限と極限を扱うために、左完全な前層の理論および基数算術を適用する。
• idempotent完備な正確なカテゴリーにおいて、Sato Grassmannianを有向半順序集合として確立する。
• 付録では、Eilenbergのトリックおよび超限拡張技法を用いて、平坦Mittag-Leffler加群がInda(Pf(R))のidempotent完備化であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の正確なカテゴリーにおけるTate対象を、代数的幾学における古典的構成を一般化して体系的に定義する方法は何か？
• RQ2 拡張に関して閉じており、Ind-およびPro-対象を含むという観点から、基本的Tate対象の圏的特徴付けは何か？
• RQ3 idempotent完備な正確なカテゴリーにおける基本的Tate対象のSato Grassmannianは、どのように振る舞うか？
• RQ4 n-Tate対象と高次元adfllesの間の関係は何か、特にBeilinson–Parshin枠組みにおいては？
• RQ5 有限生成射影的加群上のind-対象としての平坦Mittag-Leffler加群の正確な圏的記述は何か？

主な発見

• 正確なカテゴリーにおける基本的Tate対象は、適切なInd-およびPro-対象を含み、拡張に関して閉じた最小の完全部分圏として特徴付けられる。
• idempotent完備な正確なカテゴリーにおける基本的Tate対象のSato Grassmannianは有向半順序集合である。
• 環Rに対して、平坦Mittag-Leffler加群の圏は、有限生成射影的R加群上の適切なInd-対象の圏のidempotent完備化と同値である。
• Rが右完全でない場合、Cκ+に属する非射影的κ+-生成加群が存在し、その標準的表現は分解しない。これは、uncountable基数においてInda(C)内の短い完全系列が分解しないことがあることを示している。
• 平坦Mittag-Leffler加群の圏FM(R)は、超限拡張に関して閉じているが、その任意の要素の集合からこのような構成を直接得ることはできず、非完全な設定におけるその複雑さを示している。
• 各無限基数κに対して、Cκ+に属する非射影的加群Mκ+が存在し、そのCκ+における標準的表現は分解しない。これは、非可算設定における分解の失敗を示している。