[論文レビュー] Tau-function on Hurwitz spaces

Alexey Kokotov, D. Korotkin|ArXiv.org|Feb 25, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、不変Wirtinger射影接続を用いて、リーマン球面への分岐被覆のHurwitz空間上に平坦な正則線束（'Wirtinger線束'）を構成する。正則水平切断（'Wirtinger tau関数'）を定義し、種数0および1においてその明示的公式を導出するとともに、Fuchs型およびSchottky型均質化を用いて高種数におけるtau関数のノルム平方を計算する。

ABSTRACT

We construct a flat holomorphic line bundle over a connected component of the Hurwitz space of branched coverings of the Riemann sphere. A flat holomorphic connection defining the bundle is described in terms of the invariant Wirtinger projective connection on the branched covering corresponding to a given meromorphic function on a Riemann surface. In genera 0 and 1 we construct a nowhere vanishing holomorphic horizontal section of this bundle (the ``Wirtinger tau-function''). In higher genus we compute the modulus square of the Wirtinger tau-function.

研究の動機と目的

• P¹への分岐被覆のHurwitz空間の連結成分上に平坦な正則線束を定義すること。
• 被覆面における不変Wirtinger射影接続を用いて平坦な正則接続を構成すること。
• 種数0および1において、常に非ゼロの正則水平切断（Wirtinger tau関数）を特定・計算すること。
• 均質化技術を用いて高種数におけるWirtinger tau関数のノルム平方を計算すること。
• Bergmann tau関数（Bergmann射影接続により定義）とWirtinger tau関数の関係を調べ、両者を微分作用素の行列式に関連付けること。

提案手法

• P¹への分岐被覆のHurwitz空間の穴あき部分 $ H'_{g,N}(1,\dots,1) $ 上に平坦接続 $ d_W = d - \nabla \theta $ を導入し、接続係数を $ \mathcal{A}_m = -\frac{1}{12} S_W(x_m)|_{x_m=0} $ と定める。ここで $ S_W $ はWirtinger射影接続を表す。
• この接続に対応する平坦な正則線束として 'Wirtinger線束' $ \mathcal{T}_W $ を定義する。
• 種数0および1において、'正則因子分解'を実行し、Wirtinger tau関数の明示的閉形式を導出する。
• 高種数においては、Fuchs型均質化における正則化Liouville作用 $ \mathbb{S}_{\text{Fuchs}} $ を用いて、Wirtinger tau関数のノルム平方を計算する：$ |\tau_W|^2 = e^{-\mathbb{S}_{\text{Fuchs}}/6} \frac{\det \Delta}{\det \Im \mathbb{B}} \prod_{\beta \text{ even}} |\Theta[\beta](0|\mathbb{B})|^{-\frac{2}{4^{g-1}+2^{g-2}}} $。
• Schottky型均質化を用いた別表現も提示する：$ |\tau_W|^2 = e^{-\mathbb{S}_{\text{Schottky}}/6} |\det \bar{\partial}|^2 \prod_{\beta \text{ even}} |\Theta[\beta](0|\mathbb{B})|^{-\frac{2}{4^{g-1}+2^{g-2}}} $。
• Wirtinger関数とBergmann関数を比較し、後者は正則基底に依存し、Hurwitz空間の被覆上でのみ大域的に定義可能であることに注意する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P¹への分岐被覆のHurwitz空間上に、幾何的不変量を用いて自然に平坦な正則線束を構成できるか？
• RQ2 種数0および1において、この線束の正則水平切断（tau関数）の明示的形は何か？
• RQ3 高種数において、均質化理論を用いてWirtinger tau関数のノルム平方をどのように表現できるか？
• RQ4 スピン線束の文脈において、Wirtinger tau関数とCauchy-Riemann作用素の行列式の関係は何か？
• RQ5 幾何的・解析的性質の観点から、Wirtinger関数とBergmann関数は、大域性およびホモロジー基底への依存性においてどのように異なるか？

主な発見

• 種数0および1において、Wirtinger tau関数は $ \tau_W = \frac{\left\{\prod_{k=1}^{N} h_k\right\}^{1/6}}{\left\{\prod_{m=1}^{M} f_m\right\}^{1/12}} $ で与えられる。ここで $ f_m $ および $ h_k $ は、分岐点近傍および無限遠点におけるシートでの正則微分形式の局所座標における係数である。
• 種数0および1において、Wirtinger tau関数の12乗は、ゼロをとるtheta定数が存在しないため、$ H_{g,N}(1,\dots,1) $ 上の大域的正則関数である。
• 種数2の2重被覆に対しては、$ \tau_W^{20} $ がバーデルモンドデターミナント $ V(\lambda_1,\dots,\lambda_6) $ に一致し、その一階微分は同時にゼロとならず、常に非ゼロである。
• 高種数においては、Wirtinger tau関数のノルム平方は $ |\tau_W|^2 = e^{-\mathbb{S}_{\text{Fuchs}}/6} \frac{\det \Delta}{\det \Im \mathbb{B}} \prod_{\beta \text{ even}} |\Theta[\beta](0|\mathbb{B})|^{-\frac{2}{4^{g-1}+2^{g-2}}} $ で与えられ、ここで $ \mathbb{S}_{\text{Fuchs}} $ は正則化Liouville作用である。
• Schottky型均質化における同値表現は $ |\tau_W|^2 = e^{-\mathbb{S}_{\text{Schottky}}/6} |\det \bar{\partial}|^2 \prod_{\beta \text{ even}} |\Theta[\beta](0|\mathbb{B})|^{-\frac{2}{4^{g-1}+2^{g-2}}} $ であり、tau関数が $ \bar{\partial} $ の正則行列式と関連していることを示す。
• Fuchs型とSchottky型正則化作用の差は $ \mathbb{S}_{\text{Schottky}} - \mathbb{S}_{\text{Fuchs}} = \frac{1}{2\pi} S $ を満たす。ここで $ S $ は[18]におけるLiouville作用であるが、直接的証明は未解決のままである。