[論文レビュー] Tau Functions and Virasoro Symmetries for Drinfeld-Sokolov Hierarchies

Chao‐Zhong Wu|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、アフィンカク＝ムーディ代数に関連するすべてのドリンフェルト＝ソコロフ階層に対して、tau対称ハミルトニアン密度を用いて、一様なtau関数の構成を提示し、バーリンスコロ代数の対称性をtau関数上の線形および非線形作用として表現する。主な結果は、単純なラスケードまたはねじれたアフィン代数の場合、これらのtau関数が主バーテックス作用素実現を通じてカク＝ワキモト階層の解と一致することである。

ABSTRACT

For each Drinfeld-Sokolov integrable hierarchy associated to affine Kac-Moody algebra, we obtain a uniform construction of tau function by using tau-symmetric Hamiltonian densities, moreover, we represent its Virasoro symmetries as linear/nonlinear actions on the tau function. The relations between the tau function constructed in this paper and those defined for particular cases of Drinfeld-Sokolov hierarchies in the literature are clarified. We also show that, whenever the affine Kac-Moody algebra is simply-laced or twisted, the tau functions of the Drinfeld-Sokolov hierarchy coincide with the solutions of the corresponding Kac-Wakimoto hierarchy from the principal vertex operator realization of the affine algebra.

研究の動機と目的

• すべてのドリンフェルト＝ソコロフ階層にわたるtau関数の構成のための普遍的メソッドの欠如を解消すること。
• 表現論やケース特有のハミルトニアン密度に依存する既存のtau関数の構成を統一すること。
• 本稿で定義されたtau関数と、特定の階層に対して文献で定義されたものとの関係を明確にすること。
• 単純ラスケードまたはねじれたアフィン代数の場合に、ドリンフェルト＝ソコロフ階層のtau関数とカク＝ワキモト階層の解との間の関係を確立すること。

提案手法

• tau関数の均一な構成は、$ \frac{\partial^2 \log \tau}{\partial x \partial t_j} = -\frac{j(\Lambda_j \mid H)}{(\Lambda_j \mid \Lambda_{-j})} $ という式によって達成され、ここで$ H $はハミルトニアン密度の生成関数であり、$ \Lambda_j $は主ヘイゼンベルク代数の生成子である。
• バーリンスコロ代数の対称性は、tau関数上の線形および非線形作用として表現され、カク＝ムーディ＝バーリンスコロ代数の構造を通じて明示的に実現される。
• tau関数の定義の一貫性を保証するため、$ \frac{i}{2} \frac{\partial h_i}{\partial t_j} = \frac{j}{2} \frac{\partial h_j}{\partial t_i} $ を満たすtau対称ハミルトニアン密度に依存する。
• ADE型の階層では、主順位付けと不変な双一次形式を用いてバーリンスコロ代数の対称性を線形化する。
• この構成は、$ A_n^{(1)} $および$ D_n^{(1)} $階層における既知のtau関数と整合することが示された。
• 本稿では、アフィン代数が単純ラスケードまたはねじれた場合、ドリンフェルト＝ソコロフ階層のtau関数が主バーテックス作用素実現を通じてカク＝ワキモト階層の解と一致することを確立した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのドリンフェルト＝ソコロフ階層にわたる、ケースバイケースの分析に依存しない普遍的なtau関数の構成はどのように達成できるか？
• RQ2 tau対称ハミルトニアン密度を用いて定義されたtau関数と、表現論やバーテックス作用素実現によって構築されたものとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 ドリンフェルト＝ソコロフ階層の文脈において、バーリンスコロ代数の対称性はtau関数にどのように作用するか？また、ADE型代数では線形化可能か？
• RQ4 ドリンフェルト＝ソコロフ階層のtau関数がカク＝ワキモト階層の解と一致する条件は何か？
• RQ5 補助順位付けを用いて、修正されたドリンフェルト＝ソコロフ階層へのtau関数の構成を拡張できるか？

主な発見

• 提案されたtau関数の式 $ \frac{\partial^2 \log \tau}{\partial x \partial t_j} = -\frac{j(\Lambda_j \mid H)}{(\Lambda_j \mid \Lambda_{-j})} $ は、アフィンカク＝ムーディ代数に関連するすべてのドリンフェルト＝ソコロフ階層に適用可能な均一な構成を提供する。
• $ A_n^{(1)} $および$ D_n^{(1)} $階層では、構築されたtau関数はハミルトニアン密度法による既知の結果と一致する。
• バーリンスコロ代数の対称性は、線形および非線形作用としてtau関数上に実現され、カク＝ムーディ＝バーリンスコロ代数の構造から明示的な表現が得られた。
• アフィン代数が単純ラスケードまたはねじれた場合、ドリンフェルト＝ソコロフ階層のtau関数は、主バーテックス作用素実現から得られるカク＝ワキモト階層の解と一致する。
• 主順位付けを用いた修正ドリンフェルト＝ソコロフ階層では、tau関数$ \tau $と$ \tilde{\tau} $はそれぞれ補助順位付け$ \mathrm{m} = (1,0,\dots,0) $および$ \mathrm{m} = (1,1,\dots,1) $に対応し、一般の構成の特別な場合として示された。
• 証明により、$ \log \tau_{\bar{\mathrm{m}}} = \log \tau $（$ \mathrm{m} = (1,0,\dots,0) $の場合）および$ \log \tau_{\bar{\mathrm{m}}} = \log \tilde{\tau} $（$ \mathrm{m} = (1,1,\dots,1) $の場合）が成り立つことが示され、既存の定義と整合することが確認された。