[論文レビュー] tau-recurrent sequences and modular forms

Federico Pellarin|arXiv (Cornell University)|May 29, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本論文は、正標数のモジュラー形式における2種類の別個のEisenstein級数を統一する1パラメータ族のDrinfeldモジュラー形式 $ g^\flat_k(z,t) $ を導入する。$ \tau $-線形再帰列およびベクトル的モジュラー形式の変形を用いて、これらの関数の明示的 $ u $-展開公式を導出し、それらが $ L $-関数の特別値および極値の擬モジュラー形式と深く関係していることを明らかにする。主たる貢献は、$ g^\flat_k $ を $ h^{q^k} $、$ d_3^\star $、および $ t $ に関する有理関数で表す閉形式の恒等式を確立することであり、超越性および算術的性質への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper we deal with Drinfeld modular forms, defined and taking values in complete fields of positive characteristic. Our aim is to study a sequence of families of Drinfeld modular forms depending on a parameter t that produces, for certain values of t, several kinds of Eisenstein series considered by Gekeler. We obtain formulas involving these functions. To obtain our results, we introduce and discuss tau-linear recurrent sequences and deformations of vectorial modular forms in this setting.

研究の動機と目的

• Drinfeldモジュラー形式において2種類のEisenstein級数が存在する理由を解明すること。
• これら2種類のEisenstein級数を、1パラメータ族のモジュラー形式 $ g^\flat_k(z,t) $ に統一すること。
• $ \tau $-線形再帰および変形理論を用いて、この族の算術的および解析的性質を研究すること。
• $ g^\flat_k $ の明示的 $ u $-展開公式を導出し、それらが $ L $-関数の特別値および極値の擬モジュラー形式とどのように関係するかを明らかにすること。
• 形式ローレンス級数体上での主要な生成関数の超越性を確立すること。

提案手法

• Drinfeldモジュラー形式の構造を分析するためのツールとして、$ \tau $-線形再帰列を導入する。
• パrameter $ t $ を用いてベクトル的モジュラー形式の変形を定義・研究し、族 $ g^\flat_k(z,t) $ を得る。
• Drinfeld加法群の関数方程式およびCarlitz指数を用いて、$ u $-展開における係数の再帰的関係を導出する。
• $ \tau $ 演算子および $ \tau $-再帰を用いて、$ g^\flat_k $ を $ d_3^\star $、$ h $、および $ t $ に関する有理関数と関連付ける。
• Eisenstein様関数の生成関数およびその逆関係を用いて、$ G_{k(q-1)} $ を含む恒等式を導出する。
• 形式的級数展開および付値論を用いて、$ \mathbb{C}_\infty(t)((u)) $ 上での $ F^\star $ および $ s^{-1}_{\text{Car}} d_1 $ の超越性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜDrinfeldモジュラー形式において $ \mathbb{F}_q[\theta] $ 上で2種類の別個のEisenstein級数が生じるのか、これは古典的 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ の場合とは異なる。
• RQ2 Drinfeld設定において、2種類のEisenstein級数を1つの1パラメータ族が統一可能か。
• RQ3 $ g^\flat_k(z,t) $ の $ u $-展開の構造は何か。パrameter $ t $ にどのように依存するか。
• RQ4 この族からどのように $ L $-関数の特別値および極値の擬モジュラー形式が生じるか。
• RQ5 $ F^\star $ および $ s^{-1}_{\text{Car}} d_1 $ は $ \mathbb{C}_\infty(t)((u)) $ 上で超越的か。

主な発見

• 族 $ g^\flat_k(z,t) $ は、正交および並行Eisenstein級数を1つの解析的対象に、パrameter $ t $ でパrameter化することで統一する。
• 閉形式の恒等式が導出された：$ g^\flat_k = h^{q^k} \left( d^{(k+1)/2}_2 \sum_{i=0}^{k-1} \frac{(t - \theta^{q^k}) \cdots (t - \theta^{q^{i+1}})}{u^{q^i}} + \cdots \right) $、これは形式が $ t $-依存の有理関数と明示的に関係していることを示している。
• $ (d_3^\star)^{(k)}|_{t=\theta} $ の $ u $-展開は、定理29を用いて計算され、$ E/u - 1 $ および $ h $ を含む式が得られる。
• 系6では、$ g^\flat_k $ を $ q^{k+1} $ 次まで切り取ったもの $ [g^\flat_k]_{k+1} $ が $ -d_2^{(k+1)} u^{-q^k} $ に等しく、$ t $-依存の積による補正項が付加されることを示す。
• $ F^\star $ は、関数方程式および $ p $-進付値の議論を用いて、$ \mathbb{C}_\infty(t)((u)) $ 上で超越的であることが証明された。
• $ s^{-1}_{\text{Car}} d_1 $ は、$ F^\star $ の超越性および $ d_2 $、$ d_3^\star $ の代数的性質に依拠して、$ \mathbb{C}_\infty(t)((u)) $ 上で超越的であることが示された。