[論文レビュー] Tauberian constants associated to centered translation invariant density bases

Paul Hagelstein, Ioannis Parissis|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Magnetism in coordination complexes被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、中心的で平行移動不変な微分基底が密度基底であるための必要十分条件を確立する。その条件とは、任意の 0 < α < 1 に対して、直径が r より小さい集合に対して関連するTauberian定数 CBr(α) が有限であるような r > 0 が存在することである。著者らはさらに、すべての α ∈ (0,1) に対して CBr(α) を一様に有界にするような単一の r > 0 が存在しない反例を構成し、中心的基底における積分の微分法の理論における重要な未解決問題を解決する。

ABSTRACT

This paper provides a necessary and sufficient condition on Tauberian constants associated to a centered translation invariant differentiation basis so that the basis is a density basis. More precisely, given $x \in \mathbb{R}^n$, let $\mathcal{B} = \cup_{x \in \mathbb{R}^n} \mathcal{B}(x)$ be a collection of bounded open sets in $\mathbb{R}^n$ containing $x$. Suppose moreover that these collections are translation invariant in the sense that, for any two points $x$ and $y$ in $\mathbb{R}^n$ we have that $\mathcal{B}(x + y) = \{R + y : R \in \mathcal{B}(x)\}.$ Associated to these collections is a maximal operator $M_{\mathcal{B}}$ given by $$M_{\mathcal{B}}f(x) :=\sup_{R \in \mathcal{B}(x)} \frac{1}{|R|} \int_R |f|.$$ The Tauberian constants $C_{\mathcal{B}}(\alpha)$ associated to $M_{\mathcal{B}}$ are given by $$C_{\mathcal{B}}(\alpha) :=\sup_{E \subset \mathbb{R}^n \atop 0 < |E| < \infty} \frac{1}{|E|}|\{x \in \mathbb{R}^n :\, M_{\mathcal{B}}\chi_E(x) > \alpha\}|.$$ Given $0 < r < \infty$, we set $\mathcal{B}_r(x) :=\{R \in \mathcal{B}(x) : \mathrm{diam } R < r\}$, and let $\mathcal{B}_r :=\cup_{x \in \mathbb{R}^n} \mathcal{B}_r (x).$ We prove that $\mathcal{B}$ is a density basis if and only if, given $0 < \alpha < \infty$, there exists $ r = r(\alpha) >0$ such that $C_{\mathcal{B}_r}(\alpha) < \infty$. Subsequently, we construct a centered translation invariant density basis $\mathcal{B} = \cup_{x \in \mathbb{R}^n} \mathcal{B}(x)$ such that there does not exist any $0 < r$ satisfying $C_{\mathcal{B}_{r}}(\alpha) < \infty$ for all $0 < \alpha < 1$.

研究の動機と目的

• 中心的で平行移動不変な微分基底が密度基底であるための必要十分条件を確立すること。
• 中心的で平行移動不変な密度基底の文脈において、すべての 0 < α < 1 に対して CBr(α) < ∞ を満たすような一様な r > 0 が存在するかという未解決問題を解決すること。
• ある中心的で平行移動不変な密度基底に対して、すべての r > 0 とすべての α ∈ (0,1) に対して CBr(α) = ∞ となるような反例を構成すること。
• 古典的なBusemann-Feller定理を中心的で平行移動不変な設定に拡張すること。

提案手法

• 中心的で平行移動不変な基底 B に対して関連する最大作用素 MB を定義する。ここで MBf(x) = sup_{R∈B(x)} (1/|R|) ∫_R |f| である。
• Tauberian定数 CB(α) = sup_{0<|E|<∞} (1/|E|) |{x : MBχE(x) > α}| を導入する。
• 各 r > 0 に対して、B に属する直径が r より小さい集合の集合を Br とし、関連するTauberian定数 CBr(α) を考える。
• CBr(α) = ∞ ならば、ほとんど everywhere で MBrχE > α を満たす有限測度の集合 E をBorel-Cantelliの補題を用いて構成することで、必要性を証明する。
• 幾何的議論とStein-Nikishin理論を用いて最大関数の挙動を制御することで、十分性を証明する。
• すべての r > 0 とすべての α ∈ (0,1) に対して CBr(α) = ∞ となるような中心的で平行移動不変な基底の具体例を構成し、条件の非一様性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心的で平行移動不変な微分基底が密度基底であるための必要十分条件は、切り捨てられた基底のTauberian定数を用いて表現可能か？
• RQ2 中心的で平行移動不変な設定において、すべての α ∈ (0,1) に対して CBr(α) < ∞ となるような一様な r > 0 が存在するか？
• RQ3 古典的なBusemann-Feller定理は中心的で平行移動不変な場合に拡張可能か？もしそうなら、条件はどのように異なるか？
• RQ4 すべての α ∈ (0,1) に対して CBr(α) < ∞ を満たすような単一の r > 0 が存在しないような中心的で平行移動不変な密度基底を構成可能か？
• RQ5 平行移動不変なBusemann-Feller基底に対して、CB(1/2) < ∞ であるが、ある α ∈ (0,1) に対して CB(α) = ∞ であることは可能か？
• RQ6 平行移動不変なBusemann-Feller基底に対して CB(1/2) < ∞ ならば、すべての α ∈ (0,1) に対して CB(α) < ∞ である必要があるか？

主な発見

• 中心的で平行移動不変な微分基底 B が密度基底であるための必要十分条件は、任意の 0 < α < 1 に対して、CBr(α) < ∞ となるような r = r(α) > 0 が存在することである。
• 基底が同位相似不変でない場合でさえも、ある r > 0 に対して CBr(α) < ∞ であることは、B が密度基底であるための必要十分条件である。
• B が中心的で平行移動不変な密度基底であるが、すべての r > 0 とすべての α ∈ (0,1) に対して CBr(α) = ∞ となる反例が構成され、一様な r が存在しないことが示された。
• 構成された基底に対して、すべての r > 0 とすべての α ∈ (0,1) に対して CBr(α) = ∞ であるため、Tauberian条件が α 全体にわたって一様に有界にならないことが示された。
• この例の基底は、弱型 (p,p) または非自明な弱型推定を満たす最大作用素と関連しない、最初に知られている中心的で平行移動不変な密度基底である。
• この結果は、中心的で平行移動不変な基底におけるde Guzmanの問題の類似が、否定的であることを示唆している。なぜなら、そのような一様な r が存在しないからである。