[論文レビュー] Taylor Domination, Tur\'an lemma, and Poincar\'e-Perron Sequences

Dmitry Batenkov, Yosef Yomdin|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2013

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Poincaré型の線形漸化式の解の母関数および区分的D-有限関数のStieltjes変換に対して、明示的なテイラー支配の境界を確立する。このような関数は、関連する漸化式行列の固有値的性質によって定まる収束円板内で一様なテイラー支配を満たし、指数的減衰よりも緩やかな列を用いて係数の減衰を明示的に制御する。これは古典的な結果（たとえばツァラントの不等式）を拡張し、解析関数の零点数を数えるための枠組みを提供する。

ABSTRACT

We consider "Taylor domination" property for an analytic function $f(z)=\\sum_{k=0}^{\\infty}a_{k}z^{k},$ in the complex disk $D_R$, which is an inequality of the form \\[ |a_{k}|R^{k}\\leq C\\ \\max_{i=0,\\dots,N}\\ |a_{i}|R^{i}, \\ k \\geq N+1. \\] This property is closely related to the classical notion of "valency" of $f$ in $D_R$. For $f$ - rational function we show that Taylor domination is essentially equivalent to a well-known and widely used Tur\\'an's inequality on the sums of powers. Next we consider linear recurrence relations of the Poincar\\'e type \\[ a_{k}=\\sum_{j=1}^{d}[c_{j}+\\psi_{j}(k)]a_{k-j},\\ \\ k=d,d+1,\\dots,\\quad\ ext{with }\\lim_{k\ ightarrow\\infty}\\psi_{j}(k)=0. \\] We show that the generating functions of their solutions possess Taylor domination with explicitly specified parameters. As the main example we consider moment generating functions, i.e. the Stieltjes transforms \\[ S_{g}\\left(z\ ight)=\\int\\frac{g\\left(x\ ight)dx}{1-zx}. \\] We show Taylor domination property for such $S_{g}$ when $g$ is a piecewise D-finite function, satisfying on each continuity segment a linear ODE with polynomial coefficients.

研究の動機と目的

• 漸化式の係数が定数に収束するPoincaré型線形漸化式の解について、一様なテイラー支配を確立すること。
• 漸化式構造を通じて、テイラー支配を古典的な不等式（たとえばツァラントの補題やバイエルバック予想）と結びつけること。
• 区分的D-有限関数のStieltjes変換を分析し、明示的な収束半径と減衰制御を伴うテイラー支配の成立を証明すること。
• 係数支配と漸化式行列の固有値的性質を用いて、母関数の零点数を評価する枠組みを提供すること。
• 有理関数および定数係数漸化式の結果を、明示的な誤差制御を伴う非自己同型かつ漸近的に定数に近づく漸化式へと拡張すること。

提案手法

• 初期係数とサブ指数的列S(k)を用いてテイラー係数の上界を定めるテイラー支配の使用。RとNについて明示的な制御。
• 有理関数におけるテイラー支配が、バイエルンキの定理と有理関数の零点に対するベズウの上限を用いて、ツァラントの不等式と同値であることを証明。
• Poincaré型線形漸化式の分析：a_k = ∑_{j=1}^d [c_j + ϕ_j(k)] a_{k-j} で、k → ∞ のとき ϕ_j(k) → 0 となるもの。
• 漸化式からブロックコンパニオン行列Aを構成し、その固有値ξ ∈ Z_A に対して min{|ξ|^{-1} : ξ ∈ Z_A} で収束半径R*が定まる。
• 行列Aのスペクトル理論の応用により、収束半径R*と円板|z| < R*における一様なテイラー支配を導出。
• gが区分的D-有限であるときのモーメント母関数S_g(z) = ∫ g(x)/(1 - zx) dx を用い、Fuchs型の微分作用素Dから導かれる漸化式を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的に定数に近づく係数をもつPoincaré型漸化式の解について、テイラー支配が一様に成立し、収束半径と減衰が明示的に評価可能か？
• RQ2 有理関数におけるテイラー支配から、古典的なツァラントの補題（べき和に関する不等式）が導けるか？
• RQ3 区分的D-有限関数のStieltjes変換について、明示的な収束半径が存在し、パrameterを明示的に与えたテイラー支配が成立するか？
• RQ4 母関数の零点数は、漸化式行列Aの固有値的性質とどのように関係するか？
• RQ5 多項式Pとqについて、m_k = ∫ P^k(x)q(x)dx で定義されるモーメント母関数について、次数にのみ依存する一様なテイラー支配が確立可能か？

主な発見

• 係数が一様に有界なPoincaré型漸化式の解について、テイラー支配が成立し、そのパラメータは摂動ϕ_j(k)の大きさにのみ依存する。
• 母関数の収束半径R*は、R* ≥ min{|ξ|^{-1} : ξ ∈ Z_A} を満たす。ここでZ_Aは漸化式行列Aの固有値の集合である。
• 区分的D-有限関数gのStieltjes変換S_g(z)について、収束半径R*は漸化式行列Aのスペクトル半径によって定まり、|z| < R*の円板でテイラー支配が成立する。
• 微分作用素DがFuchs型であり、gが恒等的にゼロでない限り、最初のΛ(D) + 1 + d_n - n個のモーメントはゼロにならない。ここでΛ(D)は無限遠点における最大の正の特徴的指数である。
• 母関数S_g(z)は、S(k)がサブ指数的でR = R*である(N, R, S(k))-テイラー支配を満たす。すべてのN ≥ max{τ - 1, Λ(D)} + d_n - nについて成立する。
• 本稿は、テイラー支配を用いたツァラントの不等式の構成的証明を提供し、多価関数に関する古典的結果と有理関数の零点に関する結果を統合する。