[論文レビュー] Taylor expansions of solutions of stochastic partial differential equations

Arnulf Jentzen|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、無限次元ブラウン運動によって駆動される確率的偏微分方程式（SPDE）の解に対して、高次の確率的テイラー展開を導出する新しい手法を提示する。このSPDEの解は半マルティンググである性質を満たさず、したがって伊藤の公式が適用できない。古典的なテイラー展開を非線形係数に適用し、弱解表現の再帰的代入と、確率的木や木の集合といった組合せ構造を用いることで、確率積分の理論に依存せずに任意の高次の展開が可能となる。これにより、数値スキームの誤差を精密に評価できる。

ABSTRACT

The solutions of parabolic and hyperbolic stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by an infinite dimensional Brownian motion, which is a martingale, are in general not semi-martingales any more and therefore do not satisfy an It\^o formula like the solutions of finite dimensional stochastic differential equations (SODEs). In particular, it is not possible to derive stochastic Taylor expansions as for the solutions of SODEs using an iterated application of the It\^o formula. However, in this article we introduce Taylor expansions of solutions of SPDEs via an alternative approach, which avoids the need of an It\^o formula. The main idea behind these Taylor expansions is to use first classical Taylor expansions for the nonlinear coefficients of the SPDE and then to insert recursively the mild presentation of the solution of the SPDE. The iteration of this idea allows us to derive stochastic Taylor expansions of arbitrarily high order. Combinatorial concepts of trees and woods provide a compact formulation of the Taylor expansions.

研究の動機と目的

• 無限次元ブラウン運動によって駆動されるSPDEの解に対して、高次のテイラー展開を開発すること。この解は半マルティンググではないため、標準的な伊藤積分の理論が適用できない。
• 無限次元SPDEにおいて伊藤の公式が失敗するのを回避するため、確率積分規則に依存しない代替の展開フレームワークを導入すること。
• 非線形係数の古典的テイラー展開と弱解形の再帰的代入を組み合わせることで、任意の高次の展開を体系的かつ組合せ構造的に導出する方法を提供すること。
• 駆動ノイズの最小限の仮定と係数の滑らかさの下で、展開における剰余項の厳密な誤差評価を確立すること。
• 高次の数値スキームを構築する理論的基盤を提供し、既存の線形陰的Eulerスキームよりも高い収束速度を実現すること。

提案手法

• SPDEの非線形ドリフトFおよび拡散B係数に対して、古典的テイラー展開を用い、解過程のまわりで展開する。
• SPDE解の弱積分形をFおよびBのテイラー展開に再帰的に代入することで、高次の項を生成する。
• 組合せ構造として、特に確率的木と木の集合を用い、複雑な再帰的展開項を簡潔に表現・整理する。
• 無限次元におけるバーグシュタイン＝デイヴィス＝ガンディーの不等式を適用し、展開に現れる確率積分のLpノルムを制御する。
• 半群e^{At}の正則性、作用素のヒルベルト＝シュミットノルム、および係数におけるホルダー型推移を活用して、剰余項の誤差バウンドを導出する。
• S-木のノード数に関する帰納法を用いて、展開項のLp推定値を証明し、収束次数を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解が半マルティンググでないため伊藤の公式が適用できない無限次元ブラウン運動によって駆動されるSPDEに対して、高次の確率的テイラー展開を導出可能か？
• RQ2 確率的チェーンルールや伊藤の公式に依存しない代替手法として、このような展開を構築するにはどうすればよいか？
• RQ3 SPDE解の再帰的構造をどのように活用して、任意の高次の展開を生成できるか？
• RQ4 高次のSPDE展開に生じる複雑な項を簡潔に表現するための組合せ的フレームワークは何か？
• RQ5 最小限の滑らかさおよび可積分性仮定の下で、このような展開における剰余項の誤差評価を厳密に証明できるか？

主な発見

• 提示された手法は、解が半マルティンググでなく、伊藤の公式が適用できないSPDEに対しても、任意の高次の確率的テイラー展開を成功裏に導出可能である。
• 本手法は、係数FおよびBの古典的テイラー展開と、弱解表現の再帰的代入に依存しており、高次の項を体系的に構築可能である。
• 確率的木や木の集合といった組合せ的ツールにより、展開項が簡潔かつ構造的に表現され、解析および実装が容易になる。
• 剰余項はLpノルムで評価され、明示的な収束次数が得られる。具体的には、1次展開ではO((Δt)^{1/4})、2次展開ではO((Δt)^{1/2−r})、3次展開ではO((Δt)^{3/4−2r})となる。
• このフレームワークは、ノイズに最小限の仮定（例：無限大の二次変動）を置いた場合でも堅牢に成立し、加法的および乗法的ノイズの両方のSPDEに適用可能である。
• 理論的基盤により、高次の数値スキームの開発が可能となり、既存の線形陰的Eulerスキームよりも高い収束速度が期待できる。