[論文レビュー] Technical Report: Higher Order Influence Functions and Minimax Estimation of Nonlinear Functionals

James M. Robins, Lingling Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Control Systems and Identification参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、半パラメトリックおよび非パラメトリックモデルにおける非線形機能のミニマックス推定のための高階インフルエンス関数の理論を構築し、1階のロバスト推定を複雑で高次元な設定に拡張する。高階インフレンス関数の明示的公式を導出し、単調な欠損データ下での平均アウトカムや時変係数混在下での因果効果の推定に応用することで、マルチロバスト性を備えた非√n収束率を達成する。

ABSTRACT

Robins et al, 2008, published a theory of higher order influence functions for inference in semi- and non-parametric models. This paper is a comprehensive manuscript from which Robins et al, was drawn. The current paper includes many results and proofs that were not included in Robins et al due to space limitation. Particular results contained in the present paper that were not reported in Robins et al include the following. Given a set of functionals and their corresponding higher order influence functions, we show how to derive the higher order influence function of their product. We apply this result to obtain higher order influence functions and associated estimators for the mean of a response Y subject to monotone missingness under missing at random. These results also apply to estimating the causal effect of a time dependent treatment on an outcome Y in the presence of time-varying confounding. Finally, we include an appendix that contains proofs for all theorems that were stated without proof in Robins et al, 2008. The initial part of the paper is closely related to Robins et al, the latter parts differ.

研究の動機と目的

• 非パラメトリックおよび半パラメトリックモデルにおける非線形機能の高階インフレンス関数の包括的理論を構築すること。
• 1階のロバスト推定を非√n収束率のための高階U統計量に拡張すること。
• 複数の機能の積の明示的高階インフレンス関数を導出し、複雑な機能の推定を可能にすること。
• 単調な欠損データおよび時変係数混在下での欠損データおよび因果推定問題への理論の応用。
• 2階以上のインフレンス関数にまで拡張されたダブルロバスト性を含むマルチロバスト性の性質を確立すること。

提案手法

• 高階インフレンス関数を高階U統計量として導出し、1階インフレンス関数を一般化する。
• テンソル積基底展開（例：Φk2, Wk1, Zk0）を用いて、条件付き期待値を非パラメトリックに推定する。
• 欠損データおよび混在の処理に、推定された感受性スコアπ̂を用いた繰り返し条件付き処理と逆確率重み付けを適用する。
• 欠損または処置の複数段階におけるインフレンス関数の再帰的分解を通じて推定量を構築する。
• 一貫性および最適収束率を保証するため、バイアス補正項（例：eτ(3)1(θ), eψ(3)j,j(θ)）を組み込む。
• 複数のヌイアンスモデルのうち少なくとも1つが正しく指定されていれば推定量が一貫するように、マルチロバスト性を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非パラメトリックモデルにおける非線形機能の積のための高階インフレンス関数をどのように導出できるか？
• RQ2 高次元的予測変数を伴う単調な欠損データ下での応答変数の平均推定における最適収束率は何か？
• RQ3 時変係数混在および欠損データを伴うモデルで、ミニマックス推定を達成するための高階インフレンス関数を構築できるか？
• RQ4 1階インフレンス関数を超えて、マルチロバスト性を高階推定量に拡張できるか？
• RQ5 3回目の観測における単調な欠損データ下での平均アウトカムのインフレンス関数の明示的形は何か？

主な発見

• 本稿では、3回目の観測における単調な欠損データ下での平均アウトカムのr階インフレンス関数の明示的形を導出し、重み付き反復条件付き期待値の複雑な和として表現する。
• 提案された推定量は、次元の呪いにより√n収束率が達成できない高次元モデルでも、非√n最適収束率を達成する。
• 機能の積のインフレンス関数は、高階U統計量理論を再帰的に適用することで構築され、分散加重平均処置効果のような複雑な機能の推定を可能にする。
• 本手法はマルチロバスト性を確保する：少なくとも1つのヌイアンスモデル（例：アウトカム回帰、感受性スコア）が正しく指定されていれば、推定量は一貫性を保つ。
• 推定量のバイアスおよび分散の性質が形式的に確立され、3回目の観測の場合のバイアス補正項（例：eτ(3)1(θ)）の明示的表現が得られる。
• 本フレームワークは、1階半パラメトリック理論を高階スコアおよびバタチャーリャ基底を組み込むことで一般化し、複雑で高次元的なモデルにおける最適推定を可能にする。