[論文レビュー] Technical Report: Observability of a Linear System under Sparsity Constraints

Wei Dai, Serdar Yüksel|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、スパースな初期状態（高々k個の非ゼロ成分）をもつ線形システムが、nに比べてはるかに少ない観測値——具体的にはO(k log(n/k))観測値——を用いて正確に再構成可能であることを確立している。この結果は、決定論的および確率的システムダイナミクスの両方において成り立つ。主な洞察は、スパarsityが、観測値がランダムにサンプリングされても、圧縮センシング技術を用いて正確な再構成を可能にすることである。これにより、制御および推定システムにおける測定の負担が顕著に軽減される。

ABSTRACT

Consider an n-dimensional linear system where it is known that there are at most k

研究の動機と目的

• 初期状態がスパース（高々k個の非ゼロ成分）であるとわかっている線形システムにおける可観測性問題に取り組むこと。これは、全次元の状態とは対照的である。
• スパース制約下で初期状態を一意に再構成するために必要な最小の観測数を特定すること。
• 観測が限られている、あるいはランダムにサンプリングされた状況において、決定論的および確率的設定の両方における可観測性理論を拡張すること。
• 圧縮センシングの原則が、スパースな初期状態をもつ制御システムにおいて、効率的な状態再構成に活用可能であることを示すこと。

提案手法

• 状態遷移行列Aと観測行列Cをもつ離散時間線形時不変システムとしてシステムを定式化し、観測値がランダムな時刻t₁,…,tₘでのみ利用可能であると仮定する。
• 各観測時刻におけるC·Aᵗⁱを積み重ねた全体の観測行列O_Tₘを構築し、y_Tₘ = O_Tₘ x₀と表す。
• 圧縮センシング理論を適用し、観測行列を測定行列とみなして、O_Tₘがフル行ランクをもつ場合に、ℓ₁最小化によりスパースなx₀を回復可能であることを示す。
• ランダム行列理論と、AおよびCの等方的かつ回転不変分布の性質を用いて、O_Tₘが十分な条件下で確率1でフル行ランクをもつことを示す。
• システムダイナミクスから導かれるバーデルモンド行列の構造を活用することで、観測がランダムに選択されても、m = O(k log(n/k))の観測値で可観測性が達成可能であることを確立する。
• 再構成の計算複雑度がnに関して多項式時間で抑えられることを示し、大規模システムにおいても計算的に実行可能であることを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期状態がスパースであるとわかっている線形システムにおいて、わずかな数の観測値しか利用できない状況でも、初期状態を一意に再構成できるか？
• RQ2 線形システムにおいてkスパースな初期状態を正確に再構成するために、最小で何回の観測が必要か？
• RQ3 システム行列AとCが確率的に分布している（確率的設定）場合、可観測性条件はどのように変化するか？
• RQ4 圧縮センシング技術は、スパースな初期状態をもつ線形制御システムに効果的に適用可能か？

主な発見

• 初期状態がkスパースであれば、観測値がランダムにサンプリングされても、高確率でO(k log(n/k))の観測値でシステムは可観測である。
• システム行列AとCが等方的に分布している場合、観測行列O_Tₘは確率1でフル行ランクをもつため、スパースな初期状態の一意な回復が保証される。
• ℓ₁最小化により初期状態の正確な再構成が可能であり、nに関して多項式時間の計算複雑度をもつため、計算的に効率的である。
• この結果は、決定論的および確率的システムダイナミクスの両方において成り立ち、確率的ケースではランダム行列の回転不変性に依存している。
• 必要な観測数はn/kに関して対数的に増加するため、全観測（n回の観測が必要）と比較して、測定の負担が顕著に軽減される。
• 再構成手順は、SVD、行列乗算、ℓ₁最小化といった標準的な圧縮センシングツールに依存しており、nに関して多項式時間で実行可能であるため、ロバストでスケーラブルである。