[論文レビュー] Techniques of distributions in perturbative quantum field theory. 1. Euclidean Asymptotic operation for products of singular functions

Alexey N. Kuznetsov∥, В. В. Власов+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 1993

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、多ループ費えんなダイアグラムのための分布理論的枠組みを導入し、特異関数の積を厳密に取り扱うために、新しいユリディアン漸近作用素を提案する。最近の記録的多ループ計算で用いられた技法を形式化することで、BPHZ正則化に対する体系的かつ数学的に堅牢な代替手法を提供し、ユリディアン空間における漸近展開について完全な解を提示する。

ABSTRACT

We present a systematic description of the mathematical techniques for studying multiloop Feynman diagrams which constitutes a full-fledged and inherently more powerful alternative to the BPHZ theory. The new techniques emerged as a formalization of the reasoning behind a recent series of record multiloop calculations in perturbative quantum field theory. It is based on a systematic use of the ideas and notions of the distribution theory. We identify the problem of asymptotic expansion of products of singular functions in the sense of distributions as a key problem of the theory of asymptotic expansions of multiloop Feynman diagrams. Its complete solution for the case of Euclidean Feynman diagrams (the so-called Euclidean asymptotic operation for products of singular functions) is explicitly constructed and studied.

研究の動機と目的

• 多ループ摂動的量子場理論における特異関数の積に起因する数学的課題に取り組むこと。
• 多ループダイアグラム解析における中心的問題として、特異関数の積の分布的意味での漸近展開を特定すること。
• BPHZ正則化手順に対する体系的かつ分布論に基づく代替手法を構築すること。
• 特異関数の積に適用可能な、完全な解を有するユリディアン漸近作用素の構築とその研究を行うこと。
• 最近の記録的多ループ計算を、数学的に厳密な枠組みで形式化・一般化すること。

提案手法

• 多ループ費えんなダイアグラムに現れる特異関数を分析するために、分布理論の形式的枠組みを用いる。
• 特異関数の積の漸近展開に対する解として、ユリディアン漸近作用素を定義し構築する。
• 分布的技法を用いて、多ループ積分に内在する発散と特異性を扱う。
• 数学的整合性を保証する、ユリディアン運動量空間における漸近展開の体系的手順を確立する。
• 正則化におけるヒューリスティック的またはアルゴリズム的アプローチに代わって、厳密な分布的操作に依拠する。
• 特異関数の積のための漸近作用素を、ユリディアン文脈において完全かつ明示的に構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異関数の積の漸近展開を、分布の意味で厳密に定義する方法は何か？
• RQ2 多ループダイアグラムにおける特異関数の積に対するユリディアン漸近作用素の数学的構造は何か？
• RQ3 多ループ計算に対して、体系的かつ分布論に基づくBPHZの代替を定式化できるか？
• RQ4 提案された手法は、摂動的量子場理論における最近の記録的多ループ計算をどのように一般化・形式化するか？
• RQ5 ユリディアン空間における漸近作用素の完全性と整合性を保証する条件および性質は何か？

主な発見

• 特異関数の積のための完全かつ明示的な解が、ユリディアン漸近作用素として構築された。
• この手法は、BPHZ正則化手順に対する体系的かつ数学的に厳密な代替を提供する。
• この枠組みは、摂動的量子場理論における最近の高ループ次数計算の背後にある推論を成功裏に形式化した。
• 特異関数の積の漸近展開は、多ループダイアグラム解析における中心的問題として特定された。
• 分布論的アプローチにより、多ループ積分における発散と特異性の取り扱いが整合的かつ明確になった。
• この解は、完全に発展させられ、研究が行われており、今後の応用の基盤を確立している。