[論文レビュー] Teichmüller Space Is Totally Geodesic In Goldman Space

Qiongling Li|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、表面 $ S $ 上の凸 $ \mathbb{R}P^2 $-構造のモジュライ空間であるゴールドマン空間 $ \mathcal{B}(S) $ に新しいリーマン計量を構成し、それがロフトイン計量と呼ばれるものであると同時に、ダルヴィシュザデフ＝ゴールドマン計量とも一致することを証明している。両計量とも、テイコフラー空間上ではウェイリ・ペトロフスキー計量の定数倍に制限される。主な結果は、ロフトイン計量のもとで、テイコフラー空間は $ \mathcal{B}(S) $ の中に完全測地的であるということであり、これは等長双対写像によって確立される。

ABSTRACT

We construct a new Riemannian metric on Goldman space $\mathcal{B}(S)$, the space of the equivalence classes of convex projective structures on the surface $S$, and then prove the new metric, as well as the metric of Darvishzadeh and Goldman, restricts to be the Weil-Petersson metric on Teichm$\ddot{u}$ller space, embedded as a submanifold of Goldman space $\mathcal{B}(S)$. Moreover, Teichm$\ddot{u}$ller space endowed with the Weil-Petersson metric then is totally geodesic in the Riemannian manifold $\mathcal{B}(S)$.

研究の動機と目的

• ゴールドマン空間 $ \mathcal{B}(S) $ に、テイコフラー空間上でウェイリ・ペトロフスキー計量に制限される新しいリーマン計量を構成すること。
• この新しい計量のもとで、テイコフラー空間が $ \mathcal{B}(S) $ 内で完全測地的であるかどうかを特定すること。
• テイコフラー空間の幾何的構造を、凸 $ \mathbb{R}P^2 $-構造のより大きな空間へ拡張すること。
• テイコフラー空間上のウェイリ・ペトロフスキー計量が、$ \mathcal{B}(S) $ 上のリーマン計量に拡張可能かどうかという未解決問題に取り組むこと。この計量が完全測地性を保つかどうかを検証すること。
• 双対性と調和代表元を用いて、テイコフラー空間の $ \mathcal{B}(S) $ 内の埋め込みの幾何的特徴づけを提供すること。

提案手法

• ペア $ (\Sigma, U) $ において、$ \Sigma $ がリーマン面で $ U $ が立方微分であるという対応関係に基づき、チェン＝ヨウ計量を用いて新しいリーマン計量（ロフトイン計量）を $ \mathcal{B}(S) $ 上に構成する。
• 自然な同型写像を介して、テイコフラー空間の接ベクトルを $ \mathcal{B}(S) $ 内のテイコフラー軌道の接ベクトルと同一視し、計量を比較する。
• 平坦な $ sl(3,\mathbb{R}) $-バンドルに値をとる1次形式が、そのコホモロジー類において調和代表元であることを証明する。これはロフトイン計量を定義するために不可欠である。
• 定義の比較と代表元の調和性を用いることで、ロフトイン計量とダルヴィシュザデフ＝ゴールドマン計量が、テイコフラー軌道上で等長（定数倍を除いて）であることを示す。
• テイコフラー軌道を点ごとに固定し、ロフトイン計量を保存するような $ \mathcal{B}(S) $ 上の双対写像 $ \tau $ を構成する。これは表現とその双対表現の双対性に基づく。
• リーマン幾何学における結果（等長写像の固定点集合は完全測地的）を適用し、$ \tau $ が固定点集合および等長写像の両条件を満たすことを検証することで、完全測地性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形空間 $ \mathcal{B}(S) $ 上に、テイコフラー空間上でウェイリ・ペトロフスキー計量に制限されるリーマン計量が存在するか。
• RQ2 適切なリーマン計量のもとで、テイコフラー空間がウェイリ・ペトロフスキー計量を備えて $ \mathcal{B}(S) $ 内で完全測地的であるか。
• RQ3 ダルヴィシュザデフ＝ゴールドマン計量が、テイコフラー軌道上でウェイリ・ペトロフスキー計量の定数倍に制限されるかどうかを示せるか。
• RQ4 チェン＝ヨウ計量に基づく新しいロフトイン計量が、テイコフラー軌道上でダルヴィシュザデフ＝ゴールドマン計量と等長であるか。
• RQ5 固定点集合が正確にテイコフラー軌道であるような $ \mathcal{B}(S) $ 上の双対写像 $ \tau $ を構成できるか。さらに、この写像がロフトイン計量に関して等長写像であるか。

主な発見

• チェン＝ヨウ計量を用いて空間のペア $ (\Sigma, U) $ 上に構成されたロフトイン計量は、$ \mathcal{B}(S) $ 内のテイコフラー軌道上で、ウェイリ・ペトロフスキー計量の定数倍に制限される。
• ダルヴィシュザデフ＝ゴールドマン計量も同様に、テイコフラー軌道上でウェイリ・ペトロフスキー計量の定数倍に制限され、両計量がウェイリ・ペトロフスキー構造を拡張することが確認された。
• 双対写像 $ \tau $ の固定点集合は正確にテイコフラー軌道であり、$ \tau $ はロフトイン計量に関して等長写像である。
• 双対写像 $ \tau $ はコホモロジー類の調和代表元を保存するため、計量が $ \tau $ に関して適切に定義され、不変であることが保証される。
• 写像 $ \tau $ の等長性と、その固定点集合がテイコフラー空間であるという事実から、ロフトイン計量のもとで、テイコフラー空間は $ \mathcal{B}(S) $ 内で完全測地的であることが導かれる。
• 平坦な $ sl(3,\mathbb{R}) $-バンドル $ \mathcal{A}^1(S, sl(3,\mathbb{R})_{Ad\rho}) $ と $ \mathcal{A}^1(S, sl(3,\mathbb{R})_{Ad\rho^*}) $ 上のリーマン計量が、写像 $ \mu $ で等長であることが示され、これは $ \tau $ におけるロフトイン計量の等長性を証明するために不可欠である。