[論文レビュー] Teichmueller curves generated by Weierstrass Prym eigenforms in genus three and genus four

Erwan Lanneau, Duc-Manh Nguyen|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、3次曲面上の単一の零点を持つPrym固有形式によって生成されるタイヒミュラー曲線を、プロトタイプとバタフライ移動を用いて分類し、組合せ的連結性を分析する。$D \geq 17$ の場合、$D \equiv 1 \pmod{8}$ ならば2つの曲線、$D \equiv 0,4 \pmod{8}$ ならば1つ、$D \equiv 5 \pmod{8}$ ならば存在しないが、小さな $D$ については例外がある。分類は、ストラトゥム $\Omega\mathfrak{M}(4)$ 内の実乗法とモジュラー力学に基づく。

ABSTRACT

This paper is devoted to the classification of the infinite families of Teichmuller curves generated by Prym eigenforms of genus 3 having a single zero. These curves were discovered by McMullen. The main invariants of our classification is the discriminant D of the corresponding quadratic order, and the generators of this order. It turns out that for D sufficiently large, there are two Teichmueller curves when D=1 modulo 8, only one Teichmueller curve when D=0,4 modulo 8, and no Teichmueller curves when D=5 modulo 8. For small values of D, where this classification is not necessarily true, the number of Teichmueller curves can be determined directly. The ingredients of our proof are first, a description of these curves in terms of prototypes and models, and then a careful analysis of the combinatorial connectedness in the spirit of McMullen. As a consequence, we obtain a description of cusps of Teichmueller curves given by Prym eigenforms. We would like also to emphasis that even though we have the same statement compared to, when D=1 modulo 8, the reason for this disconnectedness is different. The classification of these Teichmueller curves plays a key role in our investigation of the dynamics of SL(2,R) on the intersection of the Prym eigenform locus with the stratum H(2,2), which is the object of a forthcoming paper.

研究の動機と目的

• 単一の零点を持つ3次曲面上のワイエルシュトラスPrym固有形式によって生成される無限族のタイヒミュラー曲線を分類すること。
• 関連する二次形式の判別式 $D$ に応じて、Prym固有形式の局在 $\Omega E_D(4)$ の連結成分の数を特定すること。
• バタフライ移動によるプロトタイプの組合せ的連結性を分析し、マクマレンの手法を高次元に拡張すること。
• パラメータ化されたプロトタイプと交差形式を用いて、これらのタイヒミュラー曲線の極点を記述すること。
• Prym固有形式の局在とストラトゥム $\Omega\mathfrak{M}(2,2)^{\mathrm{odd}}$ の交差における $\mathrm{GL}^+(2,\mathbb{R})$-軌道および成分を分類する基盤を築くこと。

提案手法

• 著者たちは、Prym固有形式に関連する平行移動表面をモデル化するためのプロトタイプを用い、幾何的・力学的データを整数パラメータ $(w,h,t,e)$ で符号化し、$D = e^2 + 4wh$ を満たす。
• バタフライ移動 $B_q$ は、分解型を保ち、$q \in \mathbb{N}$ のとき $e' = -e - 4qh$, $h' = \gcd(qh, w + qt)$ で定義される変換であり、$q = \infty$ のときは $e' = -e - 4h$, $h' = \gcd(t,h)$ となる。
• 還元済みプロトタイプの集合 $\tilde{\mathcal{P}}_D$ はバタフライ移動による同値類として分析され、成分は局在の連結成分に対応する。
• 分類は、特に $D \equiv 0,1,4,5 \pmod{8}$ の場合に、$e \mod 8$ の偶奇および合同類を分析することに依存する。
• 反自己同型コホモロジー $H^1(X,\mathbb{C})^-$ 上の交差形式を用いて固有形式の存在を検証し、4次元では形式 $\begin{pmatrix} 2J & 0 \\ 0 & 2J \end{pmatrix}$ をとる。
• 類似のプロトタイプモデルと極点のパラメータ化を用いて、4次元への拡張が行われ、$\Omega E_D(6)$ への一般化が同様の手法でなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた判別式 $D$ に対して、局在 $\Omega E_D(4)$ にはいくつの連結成分があるか？
• RQ2 判別式 $D \mod 8$ は、3次曲面上のPrym固有形式によって生成されるタイヒミュラー曲線の数を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 $D \equiv 1 \pmod{8}$ の場合に2つの成分が得られる理由は何か？ これは2次元の場合とどのように異なるか？
• RQ4 これらのタイヒミュラー曲線の極点の構造は何か？ そして、どのようにパラメータ化できるか？
• RQ5 プロトタイプ上のバタフライ移動は、Prym固有形式局在の連結成分をどのように決定するか？

主な発見

• $D \geq 17$ のとき、$\Omega E_D(4)$ は $D \equiv 0,1,4 \pmod{8}$ である場合にのみ非空であり、$D \equiv 1 \pmod{8}$ では非連結で、正確に2つの連結成分を持つ。
• $D \equiv 0$ または $4 \pmod{8}$ のとき、$\Omega E_D(4)$ は連結であり、$D \equiv 5 \pmod{8}$ のときはこのような曲線は存在しない。
• $D < 17$ のとき、$\Omega E_D(4)$ が非空となるのは $D = 8$ および $D = 12$ の場合に限られ、両方のケースで局在は連結である。
• $\Omega E_8(4)$ に属する曲面には単純なシリンダーが存在せず、これは一般の平行移動表面には見られない稀な性質である。
• プロトタイプの集合 $\tilde{\mathcal{P}}_D$ は $D = 12$ および $D = 16$ のとき非空で3つの成分を持ち、$D$ が偶数で $D \not\equiv 1 \pmod{8}$ のときは2つの成分を持つ。
• $\tilde{\mathcal{P}}_D$ の成分構造は、$e \mod 8$ の合同類によって支配され、バタフライ移動における偶奇および合同制約から異なる成分が生じる。