[論文レビュー] Teichmueller curves in genus three and just likely intersections in $G_m^n x G_a^n$

Matt Bainbridge, Philipp Habegger+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$\ mathbf{G}\ _m^n \times \u005c mathbf{G}\ _a^n$ 内の不運な交差、ホッジ bundle のハーダー＝ナラシマン層への適用、および torsion 順序の境界を組み合わせることで、3次元リーマン曲面のモジュライ空間における代数的プリミティブなテイヒミュラー曲線が有限個であることを証明する。主な結果は、$\Omega\mathcal{M}_3$ のすべてのストラトム、特に一般ストラトム $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ においても、低・高複雑性の両方のストラトムに適用可能な有効な技法を用いて、有限性を確立する。

ABSTRACT

We prove that the moduli space of compact genus three Riemann surfaces contains only finitely many algebraically primitive Teichmueller curves. For the stratum consisting of holomorphic one-forms in genus three with a single zero, our approach to finiteness uses the Harder-Narasimhan filtration of the Hodge bundle over a Teichmueller curve to obtain new information on the locations of the zeros of eigenforms. By passing to the boundary of moduli space, this gives explicit constraints on the cusps of Teichmueller curves in terms of cross-ratios of six points on a projective line. These constraints are akin to those that appear in Zilber and Pink's conjectures on unlikely intersections in diophantine geometry. However, in our case one is lead naturally to the intersection of a surface with a family of codimension two algebraic subgroups of $G_m^n imes G_a^n$ (rather than the more standard $G_m^n$). The ambient algebraic group lies outside the scope of Zilber's Conjecture but we are nonetheless able to prove a sufficiently strong height bound. For the generic stratum in genus three, we obtain global torsion order bounds through a computer search for subtori of a codimension-two subvariety of $G_m^9$. These torsion bounds together with new bounds for the moduli of horizontal cylinders in terms of torsion orders yields finiteness in this stratum. The intermediate strata are handled with a mix of these techniques.

研究の動機と目的

• 3次元リーマン曲面のモジュライ空間 $\mathcal{M}_3$ における代数的プリミティブなテイヒミュラー曲線の有限性を確立すること。
• Zilberの予想の範囲外にある $\mathbf{G}_m^n \times \mathbf{G}_a^n$ のより複雑な設定に、$\mathbf{G}_m^n$ 内の不運な交差の手法を拡張すること。
• cusp 不変量および torsion 順序の有効な境界を提供し、将来的なコンピュータ探索による分類を可能にすること。
• $\Omega\mathcal{M}_3$ のすべてのストラトム、特に一般ストラトム $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ における有限性問題を、ホッジ理論とコンフォーマル幾何学の組み合わせによって解決すること。

提案手法

• テイヒミュラー曲線上のホッジ bundle のハーダー＝ナラシマン層を適用し、低ストラトムの場合の特徴関数の零点の位置を制約する。
• codimension-two 代数的部分群における $\mathbf{G}_m^n \times \mathbf{G}_a^n$ 内の曲面との交差として cusp 不変量をモデル化し、不運な交差の技法を拡張して高さ境界を導出する。
• $\mathbf{G}^9$ の codimension-two の部分多様体に対して、特にストラトム $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ において、コンピュータ支援探索を用いてグローバル torsion 順序境界を確立する。
• コンフォーマル幾何学を用いて、水平なシリンダーのモジュール比を torsion 順序の関数として境界づけ、特に高複雑性ストラトムにおいて有効にする。
• 周期的方向におけるシリンダーの射影的幅を分析し、$\Omega\mathcal{M}_3(2,2)^{\text{odd}}$ におけるトレース体の有限性を、Northcott の定理を用いて導出する。
• 固定された残留三重組の安定形式の多様体が無限個の torsion 点を含むことは、それがハイパーオービット的領域に含まれる場合に限るが、正規化と周期方程式における l’Hôpital の定理を用いて矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的プリミティブなテイヒミュラー曲線は $\mathcal{M}_3$ に有限個しか存在しないか？
• RQ2 Zilberの予想の範囲外にある環境群を有する $\mathbf{G}_m^n \times \mathbf{G}_a^n$ 内で、cusp の高さ境界を有効に確立できるか？
• RQ3 グローバル torsion 順序境界とシリンダーのモジュール境界を組み合わせることで、一般ストラトム $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ における有限性を示せるか？
• RQ4 ハーダー＝ナラシマン層が、零点が少ないストラトム（例：$\Omega\mathcal{M}_3(4)$）における特徴関数の零点位置に幾何的制約を与えるか？
• RQ5 $\Omega\mathcal{M}_3(2,2)^{\text{odd}}$ における固定残留三重組の安定形式の多様体は $({\mathbf{C}}^*)^3$ の部分トーラスか？そしてこれは cusp の有限性に何を意味するか？

主な発見

• 代数的プリミティブなテイヒミュラー曲線は $\mathcal{M}_3$ に有限個しか存在せず、3次元における長年の未解決問題が解決された。
• これらの cusp は、ハーダー＝ナラシマン層と境界挙動から導かれる $\mathbb{P}^1$ 上の6点の交比によって制約される。
• codimension-two 部分群における $\mathbf{G}_m^n \times \mathbf{G}_a^n$ 内の曲面との交差に対して、有効な高さ境界が確立され、不運な交差理論が $\mathbf{G}_m^n$ を超えて拡張された。
• 一般ストラトム $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ においては、$\mathbf{G}^9$ 内でのコンピュータ探索によりグローバル torsion 順序境界が計算され、シリンダーのモジュール境界によって有限性が保証された。
• $\Omega\mathcal{M}_3(2,2)^{\text{odd}}$ において、可能な残留三重組 $(r_1:r_2:r_3)$ の集合は有限であり、固定残留三重組の安定形式の多様体が部分トーラスであると仮定すると、周期方程式に矛盾が生じる。
• 証明は、$({\mathbf{C}}^*)^3$ 内の残留多様体の成分 $Q(C_0)$ が部分トーラスでない限り、そのような cusp は有限個であることを示しており、これにより有限性が証明された。