[論文レビュー] Teichmueller curves, triangle groups, and Lyapunov exponents

Irene I. Bouw, Martin Moeller|ArXiv.org|Nov 30, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、超幾何微分方程式と射影直線のアーベル被覆を用いて、すべての m < n ≤ ∞ に対して、Fuchsian 三角形群 Δ(m,n,∞) によって均一化されるタイヒミュラー曲線を構成する。Kontsevich–Zorich コサイクルのリャプノフ指数を、これらの曲線上のラインバンドルの正規化次数として特定し、明示的な公式を提示するとともに、構成された族の射影アフィン群が正確に Δ(m,n,∞) であることを証明する。これは、Veech や Ward の以前の研究を一般化するものである。

ABSTRACT

We construct a Teichmueller curve uniformized by the Fuchsian triangle group (m,n,\infty) for every m

研究の動機と目的

• すべての m < n ≤ ∞ に対して、Fuchsian 三角形群 Δ(m,n,∞) によって均一化されるタイヒミュラー曲線を構成すること。
• Veech や Ward の以前の研究は特定の m と n の場合に限られていたが、それらを一般化すること。
• Kontsevich–Zorich コサイクルのリャプノフ指数を、タイヒミュラー曲線上の自然なラインバンドルの正規化次数として解釈すること。
• タイヒミュラー曲線のホッジ論的特徴付けを、Kodaira–Spencer 写像と超幾何系のモノドロミー性質を用いて行うこと。

提案手法

• パrameter t を用いて、P^1 − {0,1,∞} 上の N-周期被覆 y^N = x^{a1}(x−1)^{a2}(x−t)^{a3} の族を構成する。
• ガロア降下と群作用（Z/NZ ⋊ H）を用いて商族 X = Y/H を構成し、これはモジュライ空間 Mg にマッピングする。
• 局所系統 L(i0) のモノドロミーを、射影モノドロミー群 Δ(m,n,∞) と関連づけ、それが三角形群であることを保証する。
• 超幾何微分方程式の不変量を用いて、Kodaira–Spencer 写像の消える条件を特徴づけ、無限モノドロミーを用いて特異ファイバーを同定する。
• Simpson の対応とホッジ理論を適用し、リャプノフ指数を、ポincare ディスク上のラプラシアンの積分を介してラインバンドルの次数に関連付ける。
• 公式 λ_i = (1/4π) vol(C) ∫_{G(L_i)} Δ_h log||v_i|| dν を用いて、リャプノフ指数をラインバンドルの正規化次数として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fuchsian 三角形群 Δ(m,n,∞) に対して、すべての m < n ≤ ∞ に対してタイヒミュラー曲線を体系的に構成可能か？
• RQ2 Kontsevich–Zorich コサイクルのリャプノフ指数は、タイヒミュラー曲線上のラインバンドル次数として幾何学的にどのように解釈できるか？
• RQ3 超幾何系のモノドロミーと、対応するタイヒミュラー曲線の射影アフィン群との正確な関係は何か？
• RQ4 これらの族に対して、相対 de Rham コホモロジー R^1f_*C_X の分解はどの程度特定可能か？
• RQ5 この構成は三角形群を超えて拡張可能か？その際の障害（例えば付加的パラメータ）は何か？

主な発見

• n が有限で m ≠ n のとき、構成された族 X の射影アフィン群は正確に三角形群 Δ(m,n,∞) である。
• リャプノフ指数がラインバンドル L_i の正規化次数に等しいことが示され、λ_i = deg(L_i)/d_1 が成り立つ。ここで d_1 は最初のラインバンドルの次数である。
• m ≤ 5 のとき、Veech 表面は、(m+3)/2 または (m+4)/2 条の辺を持つ有理多角形の展開として実現可能である。ただし、奇数・偶数に応じて異なる。
• Kodaira–Spencer 写像が消えるのは、ある点回りのモノドロミーが無限大であるときであり、特異ファイバーの幾何的基準を提供する。
• 相対 de Rham コホモロジー R^1f_*C_X は完全にランク2の局所系統に分解され、リャプノフスぺクトルの完全な計算が可能になる。
• 少なくとも r 個のリャプノフ指数が非ゼロである。ここで r は分解における既約成分の数であり、ラインバンドルの次数が非ゼロであるためである。