[論文レビュー] Teichmueller geodesics with d-dimensional limit sets

Anna Lenzhen, Babak Modami+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2016

Morphological variations and asymmetry参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、種数 $d+1$ の曲面のテイコフラー空間において、ツルスン境界における極限集合が、射影的測度付き foliation の $d$ 次元単体であるテイコフラー測地線族を構成する。$d+1$ 個の無理数傾きの foliation を持つ回転させた正方形トーラスを垂直スリットに沿って貼り合わせる構成を用いて、傾きの連分数展開の係数に特定の成長条件が成り立つ場合、測地線族の極限集合が $d$ 次元単体をなすことを示し、マーサーの高次元極限集合に関する問いに答えている。

ABSTRACT

We construct an example of a Teichmueller geodesic ray whose limit set in Thurston boundary of Teichmueller space is a d-dimensional simplex.

研究の動機と目的

• マーサーが提起した、テイコフラー測地線族が1より大きい次元の極限集合をもつ可能性についての長年の問いを解決すること。
• 任意の $d \geq 2$ に対して、テイコフラー境界における極限集合が $d$ 次元単体であるようなテイコフラー測地線族の明示的例を構成すること。
• このような高次元極限集合が、$d+1$ 個の回転させた正方形トーラスと、それらをスリットに沿って貼り合わせた特定の幾何的構成から生じることを示すこと。
• 極限集合が、個々のトーラスに台を持つエルゴード的測度付き foliation によって張られる $d$ 次元単体の全集合であることを確立すること。

提案手法

• 固定されたサイズ $s_0$ の垂直スリットに沿って、各々無理数傾きの foliation $\theta^i$ を持つ $d+1$ 個の回転させた正方形トーラス $T^i$ を貼り合わせることで、種数 $d+1$ の平行移動曲面 $X_0$ を構成する。
• 単一の $2d$ 階の零点をもつ正則二次微分形式 $\phi_0$ の方向に、$X_0$ を出発点とするテイコフラー測地線族 $\mathbf{r}$ を定義する。
• 傾き $\theta^i$ の連分数展開の係数に特定の成長条件を課すことで、測地線の漸近的挙動を制御する。
• 曲面の分厚い部分と薄い部分における極値長さと幅の推定を用いて、測地線に沿った単純閉曲線の双曲的長さとねじれを推定する。
• 時間軸に沿った連分数の収束分数に対応する曲線の長さを、$\sim$, $\asymp$, および $\stackrel{\ast}{\asymp}$ を用いた粗い推定で比較する。
• 極限集合が $d+1$ 個のエルゴード的測度付き foliation $\nu^i$ を含み、それらの凸包が $\mathcal{PMF}(S)$ 内で $d$ 次元単体をなすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テイコフラー測地線族は、テイコフラー空間のツルスン境界において、1より大きい次元の極限集合をもつことができるか？
• RQ2 初期曲面および測地線の方向にどのような幾何的・力学的条件が、$d$ 次元極限集合を生じさせるか？
• RQ3 個々のトーラス上の foliation の傾きの連分数展開における係数の成長条件が、測地線の漸近的挙動にどのように影響するか？
• RQ4 極限集合が、$d+1$ 個のエルゴード的測度付き foliation によって張られる $d$ 次元単体の全集合であることは可能か？

主な発見

• 任意の $d \geq 2$ に対して、$\mathcal{PMF}(S)$ 内の極限集合が $d$ 次元単体であるテイコフラー測地線族が存在する。
• 極限集合は、構成における個別のトーラスに台を持つ $d+1$ 個のエルゴード的測度付き foliation $\nu^0, \nu^1, \dots, \nu^d$ の凸包である。
• 極限集合がフル次元であることを保証するため、傾き $\theta^i$ の連分数展開の係数に特定の成長条件を課す構成に依存している。
• 測地線に沿った曲線の漸近的長さ推定は、極限集合が単体内のすべての測度を含むことを示しており、双曲的長さとねじれの粗い推定によって確認されている。
• 極限集合は点でも1次元区間でもなく、完全に $d$ 次元単体である。これはマーサーの問いに肯定的に答えている。