[論文レビュー] Telescopers for Rational and Algebraic Functions via Residues

Shaoshi Chen, Manuel Kauers+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、留数解析を用いた、有理関数および代数関数のためのテレスコペラを計算するための新規アルゴリズムを提示する。この手法により、m 個の変数における有理関数のテレスコペラと、m−1 個の変数における代数関数のテレスコペラとの間の同値性が確立される。微分作用素による留数消去を活用することで、3 変数有理関数に対してはより高速なアルゴリズムが得られ、2 変数代数関数のテレスコペラの次数に対する新たな上限が導かれる。

ABSTRACT

We show that the problem of constructing telescopers for functions of m variables is equivalent to the problem of constructing telescopers for algebraic functions of m -1 variables and present a new algorithm to construct telescopers for algebraic functions of two variables. These considerations are based on analyzing the residues of the input. According to experiments, the resulting algorithm for rational functions of three variables is faster than known algorithms, at least in some examples of combinatorial interest. The algorithm for algebraic functions implies a new bound on the order of the telescopers.

研究の動機と目的

• m 個の変数における有理関数のテレスコペラの計算と、m−1 個の変数における代数関数のテレスコペラの計算との間の同値性を確立すること。
• 留数に基づく消去を用いた、2 変数代数関数のテレスコペラ計算のための新アルゴリズムを開発すること。
• 2 変数代数関数のテレスコペラの次数に対する新たな上界を導出すること。
• 3 変数有理関数のクリエイティブ・テレスコペレーションの計算効率を、代数関数問題への還元によって向上させること。

提案手法

• 手法は、入力関数の有理関数または代数関数の体における留数を分析することに基づく。
• 関数が微分の形に書けるための必要十分条件がすべての留数がゼロであることであることを利用し、留数の消去がテレスコペラの構成の鍵となる。
• 有理関数の場合、Rothstein-Trager の結果式を用いて留数を計算し、それらの留数を消去するための微分作用素を構成する。
• 代数関数の場合、問題をリーマン面へと持ち上げ、関数体拡張における留数を分析する。
• 留数消去の後、証明関数を抽出するためにヘルメート還元を適用する。
• プロトタイプ実装では Koutschan の HolonomicFunctions.m パッケージを用い、既存手法と性能を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m 個の変数における有理関数のテレスコペラの計算問題は、m−1 個の変数における代数関数のテレスコペラの計算問題に還元可能か？
• RQ2 2 変数代数関数における留数の構造は何か？ そして、微分作用素を用いてどのように消去可能か？
• RQ3 3 変数有理関数に対する既存のクリエイティブ・テレスコペレーションアルゴリズムと比較して、留数に基づくアプローチの性能はいかがなものか？
• RQ4 留数に基づく手法は、2 変数代数関数のテレスコペラの次数に対してより厳密な上限を導けるか？

主な発見

• 3 変数有理関数に対するアルゴリズムは、特定の組合せ論的意味を持つ例において、既知の手法を上回る性能を示し、1 つの例では 1.04 秒という実行時間にまで短縮されたのに対し、最も遅い代替手法では 150 時間以上を要した。
• 2 変数代数関数に対する新アルゴリズムにより、テレスコペラの次数に対する新たな上界が得られた：deg_Dt(L) ≤ [E:K(x)]·deg_x(B*) + 2·genus(E)、ここで B* は分母の平方自由部分である。
• 例 2 において、新手法（EA）は 1646.53 秒でテレスコペラを計算したが、標準手法（CK）では 40043.01 秒を要し、顕著な高速化が達成された。
• Rothstein-Trager の結果式が小さな成分に因数分解できるかどうかに依存して性能向上が現れる。そのような場合、1 つの大きな有理関数問題を解くよりも、複数の小さな代数関数問題を解く方が効率的である。
• アルゴリズムのステップ 1（留数消去）がテレスコペラの大部分を捉えられれば、ステップ 2 の連立系の複雑さが低減され、手法の効果が最大になる。