[論文レビュー] Temperature-reflection I: field theory, ensembles, and interactions

David A. McGady|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、量子場理論（QFT）における有限温度パス積分が、調和振動子の分配関数の積としての構造のおかげで、逆温度βを−βに置き換えるT反転（T-reflection）に対して不変であることを確立している。単一粒子系では通常のT反転が破れるが、多粒子系および相互作用を含むQFT、非ユニタリ、キラル、非超対称理論を含め、T反転不変性を示すことができ、ヤン・ミルズ理論や非調和振動子における摂動的補正は、位相因子を除いて対称性を保存することが示された。

ABSTRACT

In this paper, we revisit the claim that many partition functions are invariant under reflecting temperatures to negative values (T-reflection). The goal of this paper is to demarcate which partition functions should be invariant under T-reflection, and why. Our main claim is that finite-temperature path integrals for quantum field theories (QFTs) should be T-reflection invariant. Because multi-particle partition functions are equal to Euclidean path integrals for QFTs, we expect them to be T-reflection invariant. Single-particle partition functions though are often not invariant under T-reflection. Several exactly solvable systems are non-invariant under naive T-reflection, but are likely invariant under an extended T-reflection. We give example systems that are T-reflection invariant but are (1) non-unitary, (2) chiral, (3) interacting, (4) non-supersymmetric, or (5) non-conformal, and (6) argue that T-reflection is unrelated to time-reversal. Finally, we study the interplay between T-reflection and perturbation theory in the anharmonic harmonic oscillator in quantum mechanics and in Yang-Mills in four-dimensions. This is the first in a series of papers on temperature-reflections.

研究の動機と目的

• T反転（β → −β）に対して不変となる量子系、特にQFTおよび分配関数を特定すること。
• T反転が時間反転やモジュラー不変性とは異なる、有限温度場理論の真の対称性であるかどうかを明確にすること。
• ヤン・ミルズ理論や非調和振動子を含む、相互作用的、非ユニタリ、非超対称系におけるT反転の振る舞いを調査すること。
• 摂動論が量子場理論におけるT反転対称性を保存するか破壊するかを分析すること。
• T反転が他の対称性とどのように異なり、パス積分および相関関数における数学的・物理的基盤を明確にすること。

提案手法

• 調和振動子の分配関数を分析し、ボソン的振動子はβに関して奇関数、フェルミオン的振動子は偶関数であることを示し、特定の条件下でT反転不変性が保たれることを示した。
• 有限温度QFTのパス積分を、T反転がβ → −βに対応するユークリッド場理論に写像し、振動モードの積構造を用いて自由および相互作用的QFTにおける不変性を証明した。
• レフシェッツのテイブルと生成・消滅演算子を用いて、複素化された場空間における調和振動子パス積分とそのT反転性を分析した。
• SU(N)ヤン・ミルズ理論に随伴場を加えた系をS³×S¹上で摂動的技法を適用し、1ループ補正による分配関数の計算を行い、位相因子を除いてT反転不変性が保たれることを示した。
• 非調和振動子の量子力学的取り扱いと摂動的ゲージ理論との関係を検討し、β → −βの極限においてもT反転対称性が存続することを示した。
• 2次元CFT（例：イジング模型）における相関関数を検討し、モジュラー重みおよびヤコビ形式の性質によって決定される位相因子を伴って、T反転に対して共変的に変換されることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの量子場理論および分配関数がT反転（β → −β）に対して不変であり、その理由は何か？
• RQ2 相互作用的、非ユニタリ、キラル、または非共形場理論におけるT反転の振る舞いはいかなるものか？
• RQ3 ヤン・ミルズ理論に随伴場を加えた摂動的QFTにおいてT反転を一貫して定義可能か？また、ループ補正はその対称性にどのように影響するか？
• RQ4 T反転は時間反転対称性、モジュラー不変性、または他の既知の対称性と関係があるか？
• RQ5 2次元CFT（例：イジング模型）における相関関数はT反転に対して共変的に変換されるか？その場合、位相因子はどのように決定されるか？

主な発見

• 有限温度QFTのパス積分は、調和振動子の分配関数の積としての構造のおかげで、T反転不変性を示す。
• 単一粒子系の分配関数（例：水素原子や無限大の井戸型ポテンシャル）は、ゼロエネルギー付近の連続状態の蓄積のため、通常のT反転に対して一般には不変でない。
• 相互作用的、非ユニタリ、キラル、非超対称QFT（例：2次元イジング模型、S³×S¹上のヤン・ミルズ理論）は、分配関数においてT反転不変性を示す。
• 非調和振動子およびSU(N)ヤン・ミルズ理論における摂動的補正は、位相因子を除いてT反転不変性を保存し、その位相は下位の形式のモジュラー重みによって決定される。
• 2次元CFT（例：イジング模型）における相関関数は、モジュラー重みおよびヤコビ形式構造によって決定される位相因子を伴ってT反転に対して共変的に変換される。
• T反転は時間反転対称性とは無関係であり、むしろ分配関数の解析的構造と、熱場理論におけるモジュラー性に起因する。