[論文レビュー] Tempered distributions with discrete support and spectrum

Serhii Favorov|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、離散的台を持つtempered分布および離散的フーリエ変換スペクトルを持つ分布が、有限個のfull-rank格子の陪集合の和集合である、すなわち純粋な結晶であるための十分条件を確立する。係数の成長条件を分析し、ほぼ周期的性質の議論を用いることで、分布およびそのフーリエ変換が離散的かつ可算な台をもち、係数の崩壊が制御されている場合、その台は格子に関して純粋な結晶であることが示される。これは測度から分布への既知の結果の一般化である。

ABSTRACT

We investigate properties of tempered distributions with discrete or countable supports such that their Fourier transforms are distributions with discrete or countable supports as well. We find sufficient conditions for support of the distribution to be a finite union of translations of a full-rank lattice.

研究の動機と目的

• 台およびフーリエ変換スペクトルが離散的または可算集合であるtempered分布を特徴づけること。
• quasicrystalおよび測度に関する既知の結果を、より広いtempered分布のクラスへと拡張すること。
• このような分布が、full-rank格子の陪集合の有限個の和集合であるための十分条件を特定すること。
• 係数の崩壊、ほぼ周期的性質、および台の結晶的構造との間の関係を確立すること。

提案手法

• 分布を離散的点におけるDirac質量の高階微分として表現する：$ f = \sum_{\lambda \in \Lambda} \sum_{\|k\| \leq m} p_{\lambda,k} D^k \delta_\lambda $。
• フーリエ変換$ \hat{f} $も離散的台をもち、同様に係数$ q_{\gamma,j} $を用いて表現すると仮定する。
• 係数の$ L^2 $-型成長バウンドを用いる：$ \kappa_f(\lambda) = O(|\lambda|^m) $ として$ |\lambda| \to \infty $のとき、tempered性および崩壊を保証する。
• ほぼ周期的理論を適用する：係数の成長が多項式的である場合、このような分布がほぼ周期的であることを示す。
• bump関数との畳み込みを用いて、ほぼ周期的近似を構成し、Dirac組合$ \delta_\Lambda $のほぼ周期的性質を導く。
• 既知のほぼ周期的測度に関する結果を活用し、相対的に密な差を持つ離散的集合が純粋な結晶であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的台および離散的フーリエ変換スペクトルをもつtempered分布が、必ず純粋な結晶であるための条件は何か？
• RQ2 測度に関する古典的結果（均一に離散的台およびスペクトルが存在するならば純粋な結晶構造をとる）が、多項式的有界係数をもつ分布へと拡張可能か？
• RQ3 分布係数の崩壊率は、分布および関連するDirac組のほぼ周期的性質とどのように関係するか？
• RQ4 台およびスペクトルの均一な離散性が、格子に基づく結晶的構造を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 分布およびそのフーリエ変換の両方の係数成長条件が、台をfull-rank格子の陪集合の有限個の和集合に強制できるか？

主な発見

• tempered分布$ f $が離散的台$ \Lambda $および離散的スペクトル$ \Gamma $をもち、係数が$ \kappa_f(\lambda) = O(|\lambda|^m) $を満たすならば、$ \Lambda $はfull-rank格子に関して純粋な結晶である。
• 分布$ f $がほぼ周期的で係数の成長が多項式的である場合、Dirac組$ \delta_\Lambda = \sum_{\lambda \in \Lambda} \delta_\lambda $はほぼ周期的である。
• もし$ f $および$ \hat{f} $がともにほぼ周期的であり、離散的台をもち、係数の成長が多項式的であるならば、両方の台は双対格子に関して純粋な結晶である。
• 測度に関する定理2の結果が分布へと拡張される：係数の崩壊およびほぼ周期的性質が結晶的構造を意味する。
• 台およびスペクトルの均一な離散性に加え、多項式的係数成長が成立するならば、台はfull-rank格子の陪集合の有限個の和集合である。
• 証明は、bump関数との畳み込みによるほぼ周期的近似の構成に依拠し、このような操作におけるほぼ周期的性質の安定性を利用している。