[論文レビュー] Template estimation in computational anatomy: Fr\\'echet means in top and quotient spaces are not consistent

Loïc Devilliers, Stéphanie Allassonnière+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

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ひとこと要約

本稿は、計算解剖学におけるテンプレート推定に一般的に用いられる商空間上のフレシェ平均が、ノイズレベルが高い場合には一般に真のテンプレートの一致推定量でないことを示している。不一致は、ノイズ分布が商空間に折り畳まれることに起因し、ばらつきが増すにつれて非無視可能なバイアスが生じる。これにより、標準的な経験的フレシェ平均手法は、一貫したテンプレート回復に不適切となる。

ABSTRACT

In this article, we study the consistency of the template estimation with the Fr\\'echet mean in quotient spaces. The Fr\\'echet mean in quotient spaces is often used when the observations are deformed or transformed by a group action. We show that in most cases this estimator is actually inconsistent. We exhibit a sufficient condition for this inconsistency, which amounts to the folding of the distribution of the noisy template when it is projected to the quotient space. This condition appears to be fulfilled as soon as the support of the noise is large enough. To quantify this inconsistency we provide lower and upper bounds of the bias as a function of the variability (the noise level). This shows that the consistency bias cannot be neglected when the variability increases.

研究の動機と目的

• 群作用下での商空間上におけるフレシェ平均を用いたテンプレート推定の一致性を調査すること。
• 経験的フレシェ平均が真のテンプレートに収束しない条件を特定すること。
• ノイズが存在する状況および群作用が加わる状況におけるテンプレート推定の一致性バイアスを定量化すること。
• 商空間に基づく推定の限界を明確にするために、バイアスの理論的上限を提示すること。

提案手法

• 群作用下における商空間上でのフレシェ平均の理論的分析。特に、上位空間と商空間の期待値の関係に注目する。
• 不一致の十分条件の導出：ノイズ分布が商空間に折り畳まれる場合、特に期待ノイズが対称性軸までの距離を上回る場合に成立する。
• 極座標とガウスノイズモデルを用いて、商空間への射影の期待値を計算し、バイアスを定量化する。
• ノイズが折り畳みを引き起こす領域における統合を用いて、ノイズ分散（ばらつき）の関数として、バイアスの上界および下界を確立する。
• 多様体上での幾何学的・微分的技法の適用。特に、上位空間と商空間における分散の微分を用いる。
• 平行移動および回転群を用いた反例による不一致の証明。経験的フレシェ平均が真のテンプレートに収束しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測値が群作用によって変形された場合、商空間上でのフレシェ平均は真のテンプレートと一貫しているか？
• RQ2 経験的フレシェ平均が商空間上で真のテンプレートを推定しなくなる条件は何か？
• RQ3 データのノイズばらつきが増加するにつれて、一致性バイアスはどのように変化するか？
• RQ4 商空間上のフレシェ平均によるテンプレート推定のバイアスを数学的に境界づけることができるか？
• RQ5 大きな標本でも、ずらされた信号や回転させた形状のような状況では、なぜ経験的フレシェ平均はテンプレートを回復できないのか？

主な発見

• ノイズ分布が商空間に折り畳まれる場合、特にノイズレベルが対称性軸までの距離を上回る場合には、商空間上でのフレシェ平均はテンプレート推定において一般に不一致となる。
• 不一致は、確率変数が商空間の折り畳まれた領域に正の確率で属する場合にかつその場合にのみ発生する。すなわち、$\mathbb{P}(X \in HP_B) > 0$ である。
• 一致性バイアスは定量的に境界づけられる：上界および下界がノイズ分散の関数として導出され、ばらつきが増すにつれてバイアスが増大することが示された。
• 平行移動群の下で$\mathbb{R}^2$上のガウスノイズに対して、バイアスは$\int_d^{\infty} \frac{r^2 \exp(-r^2/(2s^2))}{\pi s^2} \sqrt{2} g(d/r) \, dr$に比例する。ここで$g$は折り畳まれた領域に依存する。
• 標本サイズが増大してもバイアスは消失しない。ノイズが大きい場合には依然として顕著であり、これにより経験的フレシェ平均による一貫した推定は不適切となる。
• 不一致は有限群に限定されない。テンプレートが固定点でない限り、連続群作用（回転や平行移動など）に対しても成立する。