[論文レビュー] Ten lectures on jet manifolds in classical and quantum field theory

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Mar 20, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 42被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、古典的および量子場理論におけるジャンマンフォイド技法について包括的なサーベイを提供し、有限次および無限次ジャン形式を変分双複体および重み付き多様体と統合する。短縮変分複体のコホモロジーがド・ラームコホモロジーと同型であることを確立し、xに依存しないラグランジアンを有するBRSTモデルにおいて、コホモロジーが定数形式を捉え、xに依存しない形式の部分複体における完全性の欠如を明らかにする。

ABSTRACT

These Lectures summarize the relevant material on existent applications of jet manifold techniques to classical and quantum field theory. The following topics are included: 1. Fibre bundles, 2. Jet manifolds, 3. Connections, 4. Lagrangian field theory, 5. Gauge theory of principal connections, 6. Higher order jets, 7. Infinite order jets, 8. The variational bicomplex, 9. Geometry of simple graded manifolds, 10. Jets of ghosts and antifields.

研究の動機と目的

• ジャンマンフォイド技法を古典的および量子場理論に応用する体系的整理。
• 特にBRST正準化のため、無限次ジャンと重み付き多様体を組み込んだ既存の定式化の拡張。
• 変分双複体のコホモロジカル構造とド・ラームコホモロジーとの関係の明確化。
• BRST理論におけるxに依存しない形式の部分複体における完全性の失敗を分析し、定数形式をコホモロジカル障害として同定。

提案手法

• ファイバー束のセクションのジャン延長を用いて、有限次ジャン多様体を用いて古典場理論を定式化。
• 無限次ジャンバンドルを有限次ジャンの逆極限として導入し、形式的べき級数解の研究を可能にする。
• 変分双複体を用いて、ジャン空間上の微分形式を水平成分と垂直成分に分解し、$d_H$ と $ar{d}$ を用いる。
• 水平微分 $d_H$ とコシュール＝テート微分 $ar{d}$ を用いて短縮変分複体を構成し、そのコホモロジーがド・ラームコホモロジーと同型であることを示す。
• 重み付き多様体に一般化する際、$(X, ilde{rak{Q}}^0_ u ilde{rak{A}})$ 上の重み付き可換外微分形式を導入し、BRST理論における反場およびゴーストをモデル化する。
• xに依存しない形式の部分複体を分析し、そのコホモロジーが、特定の次数での非完全性により、$X$ 上の定数外微分形式の空間と同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次ジャンバンドルと変分双複体は、古典的および量子場理論にどのように厳密な枠組みを提供するか？
• RQ2 短縮変分複体のコホモロジカル構造は何か？ そしてド・ラームコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ3 無限次ジャン空間上の重み付き可換微分形式は、場-反場BRST形式主義をどのようにモデル化するか？
• RQ4 xに依存しない形式はBRST理論において果たす役割は何か？ そしてこの部分複体にどのようなコホモロジカル障害が生じるか？
• RQ5 xに依存しない重み付き形式の複体が完全である条件は何か？ そして物理的観測量に与える影響は何か？

主な発見

• $J^ u Y$ 上の短縮変分複体のコホモロジーは、基底多様体 $X$ のド・ラームコホモロジーと同型であり、ド・ラーム複体への自然な単射から誘導される。
• 無限次ジャン空間上での $d_H$-閉な重み付き形式 $ heta \neq 0$ で次数 $m < n$ のものについては、$ heta = \theta_{\text{cl}} + d_H \theta_{\text{pot}}$ と分解され、$ heta_{\text{cl}}$ は $X$ 上の閉外微分 $m$-形式である。
• $J^ u Y$ 上での $\bar{d}$-閉な重み付き形式 $\theta$ で次数 $n$ のものについては、$\theta = \theta_{\text{cl}} + d_H \theta_{\text{pot}}$ と分解され、$\theta_{\text{cl}}$ は $X$ 上の閉外微分 $n$-形式である。
• xに依存しない重み付き形式の部分複体において、次数 $k < n$ でのコホモロジーは、$X$ 上の定数外微分 $k$-形式の空間 $S^k_X(X)$ と同型であり、これらの障害により非完全性が生じる。
• xに依存しない形式の複体は完全でない。次数 $k < n$ での障害は、定数 $k$-形式の層 $S^k_X$ であり、次数 $n$ でのコホモロジーは $S^n_X(X)$ と同型である。
• xに依存しない形式の部分複体は、$ ext{Im}\bar{d}$、$ ext{Ker}\bar{d}$、および $S^k_X$ を含む短完全系列を許容し、コホモロジーが非自明であり物理的に有意であることを確認する。