[論文レビュー] Ten Lectures on the Moment Problem

Konrad Schmüdgen|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2020

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、多変数モーメント問題について、講義形式の包括的紹介を提供しており、実代数幾何、関数解析、多項式最適化との関連を強調している。モーメント関数型による表現測度の存在基準を確立し、カルレマンおよびクレインの条件を用いて決定性を特徴づけ、凸幾何と多項式環における正性を用いてモーメントコーンとコア多様体の構造を分析している。

ABSTRACT

These are ten lectures on the moment problem delivered by the author at the Vietnam Institute of Advanced Studies in Mathematics, Hanoi, March 2019. The first 3 lectures are about the one-dimensional full and truncated moment problem. The next 4 lectures deal with the multidimensional full moment problem with particular emphasis on the interactions with real algebraic geometry and polynomial optimization. The final 3 lectures are devoted to the truncated multidimensional moment problem and some recent developments in this area..

研究の動機と目的

• 研究者および大学院生向けに、多変数モーメント問題について体系的かつアクセス可能な紹介を提供すること。
• 特に多項式の正性と半代数的集合を通じて、モーメント問題と実代数幾何の間の相互作用を調査すること。
• 関数解析的および解析的条件を用いて、表現測度の存在および一意性（決定性）を特徴づけること。
• 断片的および完全なモーメント問題の文脈において、モーメントコーンおよびコア多様体の幾何を分析すること。
• モーメント法を多項式最適化に応用し、正性条件を用いて実行可能性および最適性の基準を導出すること。

提案手法

• 多項式代数上の線形汎関数の積分表現としてモーメント問題を定式化する。
• 一次元の基礎的ケースとしてハムバーガーおよびステルツェスのモーメント問題を提示し、多変数設定に拡張する。
• 正性理論を適用：モーメント関数型を非負線形汎関数および局所化汎関数によって特徴付ける。
• 厳密なポジティービスツェルサッツおよび半環条件を用いて、コンパクトな半代数的集合上でのモーメント問題を解く。
• モーメントコーンをディラック測度のモーメントベクトルによって生成される凸コーンとして分析し、その双対および露出面を研究する。
• ハンケル行列および多項式の正性を用いて、モーメントコーンの内部および境界点を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたモーメント列が、ある正のボレル測度による表現を持つための条件は何か？
• RQ2 表現測度が一意的（決定的）である場合と、一意的でない（不決定的）である場合の条件は何か？
• RQ3 断片的モーメント問題の解を特徴付けるために、モーメントコーンおよびコア多様体の幾何はどのように利用できるか？
• RQ4 半代数的集合上でのモーメント問題の解法において、多項式の正性条件（例えば、半環内でのもの）は果たす役割は何か？
• RQ5 カルレマンおよびクレインの条件は、一次元および多変数モーメント問題における決定性をどのように決定するか？

主な発見

• カルレマンの条件は、∑k=1∞ s2k−1−1/2 = ∞ が成り立つならば、ハムバーガーのモーメント問題が決定的であることを保証する。
• クレインの条件は、不決定性の基準を提供する：∫R log s(x) / (1 + x²) dx = −∞ ならば、モーメント問題は不決定的である。
• モーメントコーン S は、底面の空間 X 内の点 x に対して sA(x) = (a1(x), ..., am(x)) となるベクトルによって生成される凸コーンである。
• 汎関数 L がモーメントコーン L の内点であるための必要十分条件は、N1(L) = {0} であること、すなわち、非ゼロの正関数が L で消えるものが存在しないことである。
• コア多様体 V(L) は、L で消えるすべての非負関数がゼロとなる点の集合であり、W(L) = X であるための必要十分条件は、L が内点であることである。
• モーメントコーン L の露出面は、ある p ∈ E+ に対して Fp = {L′ ∈ L : L′(p) = 0} の形に表され、L がそのような面の相対的内部にあるための必要十分条件は、W(L) = V(L) であることである。