[論文レビュー] Tensor decompositions and tensor equations over quaternion algebra

Zhuo‐Heng He, Carmeliza Navasca+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 48被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、アインシュタイン積を用いたクaternion代数上のテンソル分解および方程式の包括的フレームワークを確立した最初の研究である。クォータニオンテンソルSVD、ランク分解、η-エルミート分解を導入し、SVDを用いてモール・ペンローズ逆行列を導出するとともに、一般化されたシルベスタクォータニオンテンソル方程式の可解性および一般解の必要十分条件を提示した。応用としてη-エルミート解が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we investigate and discuss in detail the structures of quaternion tensor SVD, quaternion tensor rank decomposition, and $η$-Hermitian quaternion tensor decomposition with the isomorphic group structures and Einstein product. Then we give the expression of the Moore-Penrose inverse of a quaternion tensor by using the quaternion tensor SVD. Moreover, we consider a generalized Sylvester quaternion tensor equation. We give some necessary and sufficient conditions for the existence of a solution to the generalized Sylvester quaternion tensor equation in terms of the Moore-Penrose inverses of the quaternion tensors. We also present the expression of the general solution to this tensor equation when it is solvable. As applications of this generalized Sylvester quaternion tensor equation, we derive some necessary and sufficient conditions for the existences of $η$-Hermitian solutions to some quaternion tensor equations. We also provide some numerical examples to illustrate our results.

研究の動機と目的

• クォータニオン代数上でのテンソル分解（SVD、ランク、η-エルミート）の体系的理論を、同型群構造とアインシュタイン積を用いて構築すること。
• 偶数次クォータニオンテンソルのモール・ペンローズ逆行列をクォータニオンテンソルSVDを用いて定義・表現すること。
• 一般化されたシルベスタクォータニオンテンソル方程式の可解性および一般解の必要十分条件を確立すること。
• 一般化されたシルベスタ方程式の枠組みを用いて、特定のクラスのクォータニオンテンソル方程式に対する可解条件および一般η-エルミート解を導出すること。

提案手法

• アインシュタイン積を用いてクォータニオン代数上のテンソル演算を定義し、構造的分解と逆行列化を可能にする。
• 偶数次クォータニオンテンソルのモール・ペンローズ逆行列を導出する基盤としてクォータニオンテンソルSVDを導入する。
• 係数テンソルのモール・ペンローズ逆行列を用いて、一般化されたシルベスタ方程式の可解条件および一般解の式を導出する。
• 同型群構造を用いて、クォータニオンテンソル分解の代数的性質を分析・特徴付ける。
• 対称平均化を用いて任意の解をη-エルミート部分空間に射影することで、一般η-エルミート解を導出する。
• 直交射影子および一般逆行列（例：$oldsymbol{ abla}$, $oldsymbol{ abla}^ ext{†}$）を用いて解空間を分解し、構造的制約を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン積を用いたクォータニオン代数上でのSVD、ランク分解、η-エルミート分解といったテンソル分解を、どのように体系的かつ特徴づけて定義できるか？
• RQ2 クォータニオンテンソルのモール・ペンローズ逆行列の表現は何か？ また、それがどのようにテンソルSVDから導出可能か？
• RQ3 一般化されたシルベスタクォータニオンテンソル方程式$oldsymbol{ abla}*_N oldsymbol{X}*_M oldsymbol{B} + oldsymbol{C}*_N oldsymbol{Y}*_M oldsymbol{D} = oldsymbol{E}$が解をもつための条件は何か？
• RQ4 この方程式が可解である場合、一般解の形はどのようなものか？
• RQ5 特定のクォータニオンテンソル方程式に対してη-エルミート解が存在するための必要十分条件は何か？ また、それらはどのようにパラメータ化できるか？

主な発見

• 偶数次クォータニオンテンソルのモール・ペンローズ逆行列は、そのテンソルSVDを用いて$\boldsymbol{A}^{oldsymbol{ abla}} = \boldsymbol{U}^{oldsymbol{ abla}} *_N \boldsymbol{\nabla}^{oldsymbol{ abla}} *_N \boldsymbol{V}^{oldsymbol{ abla}}$と表現され、ここで$\boldsymbol{U}, \boldsymbol{V}$はユニタリで、$\boldsymbol{\nabla}$はコアテンソルである。
• 一般化されたシルベスタ方程式$\boldsymbol{A}*_N \boldsymbol{X}*_M \boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}*_N \boldsymbol{Y}*_M \boldsymbol{D} = \boldsymbol{E}$は、$(\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{A}})*_N \boldsymbol{E}*_N \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{C}} = 0$および$(\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{C}})*_N \boldsymbol{E}*_N \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{A}} = 0$が成り立つ場合に限り可解である。
• 可解であるとき、一般化されたシルベスタ方程式の一般解は、モール・ペンローズ逆行列と次元が整合する任意のテンソル$\boldsymbol{U}_1, \boldsymbol{U}_2, \boldsymbol{U}_3, \boldsymbol{U}_4, \boldsymbol{U}_5$を含む閉形式の式で与えられる。
• 方程式$\boldsymbol{A}*_N \boldsymbol{X}*_N \boldsymbol{A}^{oldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\nabla}*} = \boldsymbol{E}$（ただし$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{X}^{oldsymbol{\nabla}*}$）がη-エルミート解をもつのは、$(\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{A}})*_N \boldsymbol{E} = 0$である場合に限る。
• 方程式$\boldsymbol{A}*_N \boldsymbol{X}*_N \boldsymbol{A}^{oldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\nabla}*} = \boldsymbol{E}$の一般η-エルミート解は、$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^\boldsymbol{\nabla}}*_N \boldsymbol{E}*_N (\boldsymbol{A}^\boldsymbol{\nabla}})^{\boldsymbol{\nabla}*} + (\boldsymbol{L}_{\boldsymbol{A}})*_N \boldsymbol{U} + \boldsymbol{U}^{\boldsymbol{\nabla}*}*_N (\boldsymbol{L}_{\boldsymbol{A}})^{\boldsymbol{\nabla}*}$で与えられ、ここで$\boldsymbol{U}$は任意のテンソルである。
• この解法フレームワークにより、さまざまなテンソル方程式を一般化されたシルベスタ形式に還元し、可解条件および一般η-エルミート解の導出が可能となる。