[論文レビュー] Tensor fields and connections on holomorphic orbit spaces of finite groups

Andreas Kriegl, Mark Losik+1 more|ArXiv.org|Mar 8, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素軌道体 $V/G$（$G$ を複素ベクトル空間 $V$ に作用させる有限群とする）の正則層 $V/G$ 上の正則テンソル場および接続が、$V$ 上の $G$-不変正則テンソル場および接続にどのように持ち上げられるかの条件を確立する。主な結果は、そのような持ち上げが存在するための必要十分条件が、反射除数 $D_{V/G}$ 沿いでのテンソル場または接続の次数が非負であることである。この特徴づけにより、正則関数の層、正則層、反射除数を用いて複素軌道体が完全に決定されることを示す。

ABSTRACT

For a representation of a finite group $G$ on a complex vector space $V$ we determine when a holomorphic $\binom{p}{q}$-tensor field on the principle stratum of the orbit space $V/G$ can be lifted to a holomorphic $G$-invariant tensor field on $V$. This extends also to connections. As a consequence we determine those holomorphic diffeomorphisms on $V/G$ which can be lifted to orbit preserving holomorphic diffeomorphisms on $V$. This in turn is applied to characterize complex orbifolds.

研究の動機と目的

• 複素軌道体 $V/G$ の正則層上における正則テンソル場および接続が、$V$ 上の $G$-不変正則テンソル場に持ち上げられる条件を同定すること。
• $V/G$ 上の正則微分同相写像が、$V$ 上の等変正則微分同相写像に持ち上げられる条件を特徴づけること。
• 複素軌道体が、正則関数の層 $\mathfrak{F}_X$、正則層 $X_0$、および反射除数 $D_X$ によって一意に決定されることを示すこと。

提案手法

• $V/G$ の軌道型層の分解を分析し、$Z_1 = Z_0 \cup \bigcup_{\text{codim }1} Z_{(K)}$ を複素多様体として特定する。
• 反射除数 $D_{V/G}$ を用いて、余次元1の層における安定化部分群の次数を符号化し、特に複素反射の影響を追跡する。
• $V$ 上の $G$-不変正則テンソル場および接続を、$Z_1$ 上の極が $D_{V/G}$ 沿いに制御された、みなし正則なテンソル場および接続として特徴づける。
• 接続の持ち上げ定理を適用し、正則微分同相写像 $f: V/G \to V'/G'$ が等変に持ち上げられるための必要十分条件が、$f(Z_0) \subset Z'_0$ かつ $f_*(D_{V/G}) \subset D_{V'/G'}$ であることを示す。
• $V$ 上の $\mathbb{C}^*$-作用を用いて、$\mathfrak{F}_{V/G}$、$Z_0$、$D_{V/G}$ から $G$-加群構造を回復する。
• 持ち上げ結果を応用し、複素軌道体が $\mathfrak{F}_X$、$X_0$、$D_X$ から一意に再構成可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素軌道体 $V/G$ の正則層上に定義された正則 $\binom{p}{q}$-テンソル場が、$V$ 上の $G$-不変正則テンソル場に持ち上げられる条件は何か？
• RQ2 $V/G$ と $V'/G'$ の間の正則微分同相写像が、$V$ と $V'$ 間の等変正則微分同相写像に持ち上げられるのはいつか？
• RQ3 正則関数の層 $\mathfrak{F}_X$ と正則層 $X_0$ に加えて、複素軌道体 $X$ を一意に再構成するのに必要な追加データは何か？
• RQ4 軌道体上の接続は、反射除数に沿った制御された特異性を持つ、正則関数の層上のみなし正則接続とどのように関係するか？
• RQ5 $\mathbb{C}^*$ がスケーリング作用を施すとき、$V$ 上の $G$-加群構造は、$\mathfrak{F}_{V/G}$、$Z_0$、$D_{V/G}$ の軌道体データから再構成可能か？

主な発見

• 正則 $\binom{p}{q}$-テンソル場が $V/G$ の正則層 $Z_0$ 上に定義されているとき、その $V$ 上への $G$-不変正則テンソル場への持ち上げが存在するための必要十分条件は、$Z_1$ 上の対応するみなし正則テンソル場が反射除数 $D_{V/G}$ 沿いに非負の次数を持つことである。
• 正則微分同相写像 $f: V/G \to V'/G'$ が $G$-等変正則微分同相写像 $F: V \to V'$ に持ち上げられるための必要十分条件は、$f(Z_0) \subset Z'_0$ かつ $f_*(D_{V/G}) \subset D_{V'/G'}$ である。
• 複素軌道体 $X = M/G$ は、正則関数の層 $\mathfrak{F}_X$、正則層 $X_0$、反射除数 $D_X$ によって一意に決定され、これらの三つのデータが、同型を除いて $X$ を完全に再構成可能であることを意味する。
• $V$ 上の $G$-加群は、データ $\mathfrak{F}_{V/G}$、正則層 $Z_0$、反射除数 $D_{V/G}$、およびスケーリング作用によって誘導される $V/G$ 上の $\mathbb{C}^*$-作用から、線形同型を除いて一意に決定される。
• 複素軌道体上の接続は、$X_1 = X_0 \cup \bigcup_{\text{codim }1} X_{(K)}$ 上のみなし正則接続として特徴づけられ、$D_X$ 沿いに非負の次数を持つ。これはソロモンの定理を一般化する。
• $M$ が単連結であるような複素軌道体 $X = M/G$ の普遍被覆軌道体は、$\mathfrak{F}_X$、$X_0$、$D_X$ によって一意に決定され、これらのデータを保存する任意の正則微分同相写像は、$M$ 上に等変に持ち上げられる。