[論文レビュー] Tensor Krylov subspace methods via the T-product for color image processing

M. El Guide, Alaa El Ichi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2020

Tensor decomposition and applications参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、T積を用いたテンソルクリロフ部分空間法を提案し、カラー画像および動画修復に生じる大規模な線形テンソル方程式を効率的に解くことを目的としている。高速フーリエ変換とグローバルアーノルドイ・グローブ＝カハン双対化を組み合わせたT積を活用することで、不適切に設定された多チャンネル画像および動画のぼかし除去問題に対して、高品質で計算的に効率的なチホノフ正則化解が得られる。

ABSTRACT

The present paper is concerned with developing tensor iterative Krylov subspace methods to solve large multi-linear tensor equations. We use the well-known T-product for two tensors to define tensor global Arnoldi and tensor global Gloub-Kahan bidiagonalization algorithms. Furthermore, we illustrate how tensor-based global approaches can be exploited to solve ill-posed problems arising from recovering blurry multichannel (color) images and videos, using the so-called Tikhonov regularization technique, to provide computable approximate regularized solutions. We also review a generalized cross-validation and discrepancy principle type of criterion for the selection of the regularization parameter in the Tikhonov regularization. Applications to RGB image and video processing are given to demonstrate the efficiency of the algorithms.

研究の動機と目的

• 多チャンネル画像および動画処理に生じる大規模な線形テンソル方程式に対する効率的な反復解法の開発を目的とする。
• 古典的クリロフ部分空間法（GMRESおよびグローブ＝カハン法）をT積形式を用いたテンソルフレームワークに拡張することを目的とする。
• チホノフ正則化を用いて、カラー画像および動画のぼかし除去における不適切な問題に対する高速かつ安定した正則化を可能とすることを目的とする。
• T積計算における高速フーリエ変換（FFT）の利用により、計算コストを低減することを目的とする。
• GCVおよび不一致原理を用いた適応的パrameter選択により、計算コストが低く、高品質な正則化解を提供することを目的とする。

提案手法

• T積 $\ast$ を用いて、テンソル線形系を $\mathcal{M}(\mathscr{X}) = \mathscr{C}$ として定式化し、$\mathcal{M}(\mathscr{X}) = \mathscr{A} \ast \mathscr{X}$ または $\mathscr{A} \ast \mathscr{X} \ast \mathscr{B}$ とする。
• T積フレームワーク下で3次テンソルを対象とした、テンソルグローバルアーノルドイおよびテンソルグローバルグローブ＝カハン双対化アルゴリズムを導入する。
• T積の計算を効率的に行うために高速フーリエ変換（FFT）を活用し、計算複雑度を低減する。
• 画像および動画修復における不適切な問題の解の安定化のため、テンソル系にチホノフ正則化を適用する。
• ガウス型求積則およびリスタート戦略を用いて、テンソルグローバルGMRESおよびT-GGKB法における正則化解を低コストで計算する。
• 一般化交差検証（GCV）および不一致原理を用いて、チホノフ正則化パrameterの自動選択を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T積に基づくテンソルクリロフ部分空間法は、カラー画像および動画処理における大規模な線形テンソル方程式を効果的に解くことができるか？
• RQ2 標準的な行列ベースまたはテンソルベースの反復法と比較して、T積に基づく定式化は計算効率をどのように向上させるか？
• RQ3 T積に基づくグローバルクリロフ法は、ぼやけたおよびノイズの多いRGB画像および動画の修復において、既存の手法と比較してどの程度の性能を示すか？
• RQ4 GCVおよび不一致原理は、テンソルチホノフ正則化における最適な正則化パrameterの選択にどの程度効果的か？
• RQ5 複数のフレームを一度にテンソルフレームワークで処理することにより、動画修復に本手法を効率的にスケーリングできるか？

主な発見

• 提案されたテンソルグローバルGMRESおよびT-GGKB法は、標準的なグローバルクリロフ法と比較して、著しくCPU時間を削減しながらも、より高品質な画像修復を達成した。
• ノイズレベル $10^{-3}$ の $\tt papav256$ 画像に対して、アルゴリズム4は6.62秒でSNR 21.01、相対誤差 $6.64 \times 10^{-2}$ を達成し、標準GKB法（18.61秒）を上回った。
• ノイズレベル $10^{-3}$ の $\tt peppers$ 画像に対して、アルゴリズム4は24.32秒でSNR 19.39、相対誤差 $5.50 \times 10^{-2}$ を達成し、再びGKB法（78.13秒）を上回った。
• 動画修復において、ノイズレベル $10^{-3}$ の条件下で、アルゴリズム4は35.68秒でSNR 19.97、相対誤差 $4.07 \times 10^{-2}$ を達成した。一方、アルゴリズム5は同等のSNRを達成しながらも、より低いCPU時間（25.52秒）を記録した。
• GCVおよび不一致原理の使用により、自動的かつ効果的な正則化パrameter選択が可能となり、安定的で高品質な修復が実現した。
• 本手法は動画データに対してもスケーラブルで効率的であり、低ノイズレベル下で10フレームの復元を40秒未満で処理でき、標準的手法に比べて顕著な計算的優位性を示した。