[論文レビュー] Tensor manipulation in GPL Maxima

Viktor T. Toth|ArXiv.org|Mar 26, 2005

Parallel Computing and Optimization Techniques参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、オープンソースのコンピュータ代数システムGPL Maximaにおけるテンソル操作パッケージ—CTENSOR、ITENSOR、ATENSOR—の修復および強化について詳述している。レガシーパッケージのコンponentベースおよび記号的テンソルツールの修復、抽象テンソル代数の完全互換性を持つATENSORパッケージの実装、曲がった時空、計量、クリフォード代数やリー代数といった代数的構造の取り扱いのための新機能の追加について述べている。

ABSTRACT

GPL Maxima is an open-source computer algebra system based on DOE-MACSYMA. GPL Maxima included two tensor manipulation packages from DOE-MACSYMA, but these were in various states of disrepair. One of the two packages, CTENSOR, implemented component-based tensor manipulation; the other, ITENSOR, treated tensor symbols as opaque, manipulating them based on their index properties. The present paper describes the state in which these packages were found, the steps that were needed to make the packages fully functional again, and the new functionality that was implemented to make them more versatile. A third package, ATENSOR, was also implemented; fully compatible with the identically named package in the commercial version of MACSYMA, ATENSOR implements abstract tensor algebras.

研究の動機と目的

• 初期調査において非機能的であったGPL Maximaにおけるレガシーテンソル操作パッケージCTENSORおよびITENSORの修復と現代化。
• 商業用MACSYMAの仕様に基づき、以前はGPL Maximaに存在しなかった完全互換性のあるATENSORパッケージを、抽象テンソル代数用に実装すること。
• 曲がった時空の計算、計量の定義、共変微分、符号の取り扱いを含む、Maximaのテンソル機能の拡張。
• クリフォード、グラスマン、リー代数を含む、確立されたテンソル代数フレームワークと数学的正確性および互換性を保証すること。
• オープンソースプラットフォームを用いて、理論物理学および微分幾何学の研究者によるテンソルツールの使いやすさと耐障害性の向上。

提案手法

• CTENSORおよびITENSORを非機能化させたLISPシステムの互換性問題を特定・解決。
• コンponentベースのテンソル計算を可能にするCTENSORの再実装、計量入力、クリフォード接続、リーマンテンソルおよびリッチテンソル、曲率不変量のサポート。
• インデックスの性質を用いた記号的テンソル操作を可能にするITENSORの復活、明示的なコンponent展開なしに共変微分およびテンソル恒等式の簡約を支援。
• 交換関係に基づき抽象テンソル代数をモデル化するATENSORの設計および実装、ユニバーサル、グラスマン、クリフォード、シンプレクティック、リー包絡代数をサポート。
• 代数の種別および次元に応じて、対称的・反対称的・ベクトル値関数を符号化する行列`aform`を用いた代数的構造の初期化。
• クォータニオン代数の乗法表を用いた数学的ベンチマークによる正しさの検証、特に正の次元が0で負の次元が2のクリフォード代数に対して。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 何年もの間のバイト腐食と互換性の欠如の後、GPL Maximaにおけるレガシーテンソルパッケージを正常に復旧させるにはどうすればよいか？
• RQ2 曲がった時空の計算や抽象代数的構造といった、現代のテンソル代数のニーズを満たすために必要な強化は何か？
• RQ3 GPL Maximaに、クリフォード代数やリー代数のような非可換テンソル代数をモデル化できる完全互換性のあるATENSORパッケージを実装できるか？
• RQ4 記号的計算環境において、共変微分や曲率不変量を含むテンソル演算の数学的正確性をどのように検証できるか？
• RQ5 オープンソースのコンピュータ代数システムは、一般相対性理論および微分幾何学分野の研究をどのように前進させる役割を果たせるか？

主な発見

• CTENSORパッケージは正常に復旧され、任意の座標系において計量入力、クリフォード接続、リーマンテンソルおよびリッチテンソル、曲率不変量のサポートが可能になった。
• ITENSORパッケージは、インデックスの対称性を用いた記号的テンソル操作を可能にし、コンponent展開なしに共変微分およびテンソル恒等式の簡約が可能になった。
• ATENSORパッケージは完全に新規実装され、商業用MACSYMA仕様に完全準拠しており、ユニバーサル、グラスマン、クリフォード、シンプレクティック、リー包絡代数をサポートしている。
• クリフォード代数において、`aform`行列は正の次元、退化、負の次元を表すために1、0、-1の対角成分を持つように正しく初期化された。
• 正の次元が0で負の次元が2のクリフォード代数に設定した場合、クォータニオン乗法表が正しく再現され、数学的正確性が検証された。
• `ct_coordsys`の実装により、柔軟な符号指定が可能となり、ミンコフスキーおよびユークリッド計量の両方をサポートし、符号を設定可能な平坦な余次元を追加可能となった。