[論文レビュー] Tensor models from the viewpoint of matrix models: the case of loop models on random surfaces

Valentin Bonzom, F. Combes|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2013

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 33被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、$U(\tau)$行列モデルがランダムな表面に完全に埋め込まれた向き付きループを生成することを示し、それらがテンソルモデルのエッジ彩色グラフと一対一対応することにより、テンソルモデルと行列モデルの直接的な接続を確立する。主な結果は、テンソルモデルにおける次数がループ数に対応し、メロニックグラフ—最大のループ数を持つもの—が大$N$極限として現れることであり、両フレームワークにおいて$1/N$展開とダブルスケーリング極限が統一されることを示している。

ABSTRACT

We study a connection between random tensors and random matrices through $U(τ)$ matrix models which generate fully packed, oriented loops on random surfaces. The latter are found to be in bijection with a set of regular edge-colored graphs typically found in tensor models. It is shown that the expansion in the number of loops is organized like the 1/N expansion of rank-three tensor models. Recent results on tensor models are reviewed and applied in this context. For example, configurations which maximize the number of loops are precisely the melonic graphs of tensor models and a scaling limit which projects onto the melonic sector is found. We also reinterpret the double scaling limit of tensor models from the point of view of loops on random surfaces. This approach is eventually generalized to higher-rank tensor models, which generate loops with fugacity $τ$ on triangulations in dimension $d-1$.

研究の動機と目的

• ランダムな表面におけるループモデルを通じて、テンソルモデルと行列モデルの間の明確な数学的・組合せ的ブリッジを確立すること。
• テンソルモデルの$1/N$展開を、行列モデルにおけるループ数の観点から再解釈すること。
• テンソルモデルにおけるメロニックグラフが、$U(\tau)$行列モデルにおいてループ数を最大化する配置に対応することを示すこと。
• インデックスごとに非一様なスケーリングを行う高ランクテンソルモデルへの$1/N$展開の一般化。
• テンソルモデルのダブルスケーリング極限を、ランダムな表面におけるループ配置の観点から再解釈すること。

提案手法

• 行列$M_1, \dots, M_\tau$を$N \times N \times \tau$のランク3テンソルにまとめることで、$U(\tau)$行列モデルの族を定式化する。
• 中間場法を用いて四次テンソルモデルを多重行列モデルに変換し、行列モデルの技法の適用を可能にする。
• U(\tau)モデルのフェ Feynman グラフとテンソルモデルにおけるエッジ彩色グラフとの間の全単射を確立し、ループ数がグラフの次数に一致することを示す。
• 4色グラフの次数を、色(0,1,2)と(0,3,4)からなる部分グラフの genus の和として定義し、これによりループ数を数える。
• $\beta$-依存するスケーリングを高ランクテンソルモデルに導入し、$\beta=0$で行列モデル、$\beta=1$で標準的テンソルモデルに滑らかに接続する。
• フェ Feynman 展開における$N$の指数を、部分グラフの genus の重み付き和として導出し、$\beta > 0$ でメロニック優位性が示されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのように$U(\tau)$行列モデルを用いて、テンソルモデルのフェ Feynman グラフに対応するランダムな表面におけるループ配置を生成できるか？
• RQ2 行列モデルにおけるループ数の観点から見たとき、テンソルモデルにおける次数の組合せ的解釈は何か？
• RQ3 大$N$極限における$U(\tau)$行列モデルの極限が、なぜテンソルモデルにおけるメロニック優位性を再現するのか？
• RQ4 テンソルモデルのダブルスケーリング極限を、ランダムな表面におけるループ配置のスケーリング極限として再解釈できるか？
• RQ5 テンソルインデックスの非一様スケーリング（$\beta \in [0,1]$）が、$1/N$展開および行列モデル形式における主要なグラフに与える影響は何か？

主な発見

• $U(\tau)$行列モデルにおけるループ数は、テンソルモデルにおける対応する4色グラフの次数に正確に一致し、次数の新しい組合せ的解釈が得られる。
• テンソルモデルにおけるメロニックグラフは、$U(\tau)$行列モデルにおいてループ数を最大化する構成にちょうど一致し、大$N$極限における優位性の理由が説明される。
• $\beta > 0$ に対して、一般化された$\beta$-スケーリングモデルにおける主要なグラフは、部分グラフ(0,1,2)および(0,3,4)の両方の genus が0であるものであり、これはメロニック優位性に対応する。
• $U(\tau)$モデルにおける$1/N$展開は、ランク3テンソルモデルにおける$1/N$展開と同一の形で整理され、次数がスケーリングを制御する。
• テンソルモデルのダブルスケーリング極限は、ループ数が発散するが部分グラフの genus が調整される極限として再解釈され、ループモデルの挙動と整合的である。
• $\beta$-依存スケーリングは、標準的行列モデル（$\beta=0$）と標準的テンソルモデル（$\beta=1$）の間を滑らかに補間し、自由エネルギーにおける$N$の指数は、2つの部分グラフからの genus 捐献の凸結合として表現される。