[論文レビュー] Tensor networks and graphical calculus for open quantum systems

Christopher J. Wood, Jacob Biamonte+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、開放量子系のためのテンソルネットワークに基づく図式計算を導入し、完全正の写像とその表現（例：チョイ行列、クラウス表現、プロセス行列）の直感的で視覚的な操作を可能にする。ワイヤーベンディング双対性とテンソル畳み込みを用いることで、表現間の変換が簡略化され、平均ゲート fidelity やアタッチメント補助プロセストモグラフィーの条件といった、量子情報理論の主要な数量に対する簡潔な証明が可能になる。

ABSTRACT

We describe a graphical calculus for completely positive maps and in doing so review the theory of open quantum systems and other fundamental primitives of quantum information theory using the language of tensor networks. In particular we demonstrate the construction of tensor networks to pictographically represent the Liouville-superoperator, Choi-matrix, process-matrix, Kraus, and system-environment representations for the evolution of quantum states, review how these representations interrelate, and illustrate how graphical manipulations of the tensor networks may be used to concisely transform between them. To further demonstrate the utility of the presented graphical calculus we include several examples where we provide arguably simpler graphical proofs of several useful quantities in quantum information theory including the composition and contraction of multipartite channels, a condition for whether an arbitrary bipartite state may be used for ancilla assisted process tomography, and the derivation of expressions for the average gate fidelity and entanglement fidelity of a channel in terms of each of the different representations of the channel.

研究の動機と目的

• 完全正写像の基本的表現（例：チョイ行列、クラウス表現、プロセス行列）の間の統一的かつ簡略化された表現と変換を、テンソルネットワークを用いて実現すること。
• 開放系における量子操作の直感的で図式的な推論を可能にする図式計算を構築し、代数的複雑性を低減すること。
• このフレームワークの有効性を実証するため、量子情報理論における既知の結果を、より単純で透明性の高い図式的証明によって導出すること。
• 量子情報処理における複合系、スーパーオペレーター、状態の平均化を扱うための体系的で視覚的な方法を提供すること。
• 図式的推論を用いた、将来の量子プロセストモグラフィー、fidelity分析、量子プロトコル設計の基盤を構築すること。

提案手法

• 量子チャネルとスーパーオペレーターをラベル付きインデックスを持つ図式的テンソルとして表すために、ペネローズのテンソルネットワーク表記を用いる。
• チョイ＝ジャミオルコフスキー同型写像を介したワイヤーベンディング双対性を適用し、リウヴィルスーパーオペレーターとチョイ行列の間の表現変換を実現する。
• ベクトル化および再配置操作を用いて、双粒子状態を有効なスーパーオペレーターに変換し、アタッチメント補助プロセストモグラフィーの分析を可能にする。
• n粒子系の対称部分空間へのプロジェクタを、n! 個の置換演算子（SWAP）の和として表し、状態の平均を計算する。
• テンソルネットワークの畳み込みを用いて、純粋状態のn重テンソル積に関する平均 ∫|ψ⟩⟨ψ|⊗n を含む式を簡略化し、対称部分空間へのプロジェクションに還元する。
• スペクトル分解などの非線形かつ一方向の変換を用いて、チョイ行列からクラウス表現への変換を実現し、その過程におけるユニタリ自由度を認識する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソルネットワークを用いることで、開放量子系における完全正写像の異なる表現の間の統一的かつ簡略化された変換をどのように実現できるか？
• RQ2 テンソルネットワークによる図式計算は、量子情報理論の主要指標に対する代数的導出の代替手段として、より直感的かつ簡潔であると見なせるか？
• RQ3 双粒子状態がアタッチメント補助プロセストモグラフィーに使用可能であるための図式的条件は何か？ そして、それをより単純に導出できるか？
• RQ4 テンソルネットワーク図式と対称部分空間プロジェクタを用いて、量子チャネルの平均ゲートfidelityをどのように導出できるか？
• RQ5 非線形変換（例：スペクトル分解）は、一貫性のある図式計算フレームワーク内で、どの程度表現および操作可能であるか？

主な発見

• 図式計算により、アタッチメント補助プロセストモグラフィーに使用可能な双粒子状態の必要十分条件の証明が、より単純かつ直感的に行えるようになり、回復チャネルの構築もより明確に示される。
• 状態平均 ∫|ψ⟩⟨ψ|⊗n を対称部分空間へのプロジェクタとして表現することで、量子チャネルの平均ゲートfidelityが、より簡潔に導出される。この対称部分空間は、テンソルネットワーク形式でn! 個の置換演算子の和として表される。
• テンソルネットワークアプローチにより、純粋状態のn重テンソル積を含む複雑な式が、単一の対称部分空間プロジェクションに効率的に畳み込まれる。
• このフレームワークにより、ワイヤーベンディング変換（例：チョイ＝ジャミオルコフスキー同型写像を介して）が、リウヴィルスーパーオペレーターとチョイ行列の間の線形かつ可逆な写像に十分であることが示された。
• 非線形変換（例：チョイ行列からクラウス表現への変換）は、ユニタリ自由度のため一方向的であることが示され、図式フレームワークでは破線矢印を用いて視覚化されている。
• 本手法により、複合系スーパーオペレーターと縮約系ダイナミクスを体系的かつ視覚的に取り扱う方法が提供され、大規模な量子系の部分集合に対するモジュラーな更新が可能になる。