[論文レビュー] Tensor networks as path integral geometry

Ashley Milsted, Guifré Vidal|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Quantum many-body systems被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、臨界量子スピン鎖を記述するのに用いられる特定のテンソルネットワークを、曲がった時空上の conformal field theory (CFT) パス積分の離散的近似として解釈することを提案する。テンソルネットワークのテンソルを局所的な幾何的操作（ユークリッド型（euclideons）を平坦な領域、状態の不均衡除去／等長写像（disentanglers/isometries）を微分同相写像として特定することで、一定の固有距離条件を満たすことで、CFTの不変性と整合する形で、一意的かつ一貫した幾何構造をネットワークに割り当てる。これにより、テンソルネットワークの構造が、CFT不変性と整合する形で時空幾何に直接的に関連づけられる。

ABSTRACT

In the context of a quantum critical spin chain whose low energy physics corresponds to a conformal field theory (CFT), it was recently demonstrated [A. Milsted G. Vidal, arXiv:1805.12524] that certain classes of tensor networks used for numerically describing the ground state of the spin chain can also be used to implement (discrete, approximate versions of) conformal transformations on the lattice. In the continuum, the same conformal transformations can be implemented through a CFT path integral on some curved spacetime. Based on this observation, in this paper we propose to interpret the tensor networks themselves as a path integrals on curved spacetime. This perspective assigns (a discrete, approximate version of) a geometry to the tensor network, namely that of the underlying curved spacetime.

研究の動機と目的

• 臨界量子スピン鎖に用いられるテンソルネットワークの幾何的解釈を確立すること。
• MERA のようなモデルが、互換性のない幾何を実現しているように見える場合に生じる、テンソルネットワークへの幾何の割り当てに関する曖昧さを解消すること。
• テンソルネットワーク形式を、曲がった時空上の CFT パス積分に結びつけることにより、ネットワークに物理的な時空幾何を割り当てること。
• CFT不変性と一定の最近接隣接テンソル間固有距離条件を組み合わせることで、テンソルネットワークの体系的かつ一意的な幾何的特徴付けを提供すること。

提案手法

• テンソルネットワークを、3 種類のテンソル（ユークリッド時間発展から得られるユークリッド型（euclideons）、不均衡除去／等長写像（disentanglers/isometries））から成るものとしてモデル化する。
• ネットワークの作用が、曲がった時空のストリップ上での CFT パス積分に類似した線形写像を実装することを特定する。
• CFT パス積分が Weyl 変換に対して不変であることに基づき、幾何を局所的スケール因子の範囲でのみ定義する。
• 幾何的制約を課す：最近接隣接テンソル間の固有距離を一定に保つ。これにより、グローバルスケールおよび UV 截断の範囲で、幾何が一意に固定される。
• ユークリッド型がサイズ $a_{\text{UV}} \times a_{\text{UV}}$ の平坦な正方形領域を表し、不均衡除去／等長写像が局所的座標スケーリング（微分同相写像）を実装することを示すことにより、幾何的解釈を導出する。
• 臨界横磁場イジング模型を用いて数値的にアプローチを検証し、生成子 $Q$ の摂動展開を用いてテンソルネットワーク写像と正確な CFT パス積分写像を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界スピン鎖に用いられるテンソルネットワークは、曲がった時空上の CFT パス積分の離散的バージョンとして解釈可能か？
• RQ2 CFT 不変性は幾何を Weyl 変換の範囲でのみ固定するが、どのように一貫的かつ一意的な幾何をテンソルネットワークに割り当てられるか？
• RQ3 MERA のようなテンソルネットワークに、H² や dS² のように互換性のない幾何を実現しているように見える場合に、その幾何の曖昧さを解消する幾何的制約は何か？
• RQ4 局所的テンソル構造とグローバルなネットワークトポロジーの相互作用によって、テンソルネットワークの幾何はどの程度まで生じるか？
• RQ5 正確な CFT パス積分写像との比較を通じて、幾何的解釈の正確性を定量的にどのように検証できるか？

主な発見

• 最近接隣接テンソル間の一定の固有距離を要求することで、CFT の Weyl 不変性による曖昧さが解消され、テンソルネットワークの幾何が一意に決定される。
• ユークリッド型はサイズ $a_{\text{UV}} \times a_{\text{UV}}$ の平坦な時空領域を表し、不均衡除去／等長写像は局所的微分同相写像を実装する。
• ネットワークの幾何は、微分同相写像によって非自明に接続された平坦な領域から成り、曲がった時空の離散的近似を形成する。
• CFT パス積分写像との数値的比較により、UV 截断 $a_{\text{UV}}$ を小さくするに従い、平均絶対誤差がゼロに近づくことが示され、連続的幾何への体系的収束が確認された。
• CFT スペクトルのアイデンティティタワーは、行列要素が少ないことと、pMPS アンザッツによる高エネルギー状態の近似が不十分なことから、収束が遅い傾向にあると考えられる。
• $c=1/2$ の臨界イジング模型に対して、本手法はテンソルネットワークと CFT パス積分の行列要素間で高い忠実度のマッピングを達成しており、誤差は主に摂動的切り捨てと有限の結合次元における pMPS 近似に起因している。