[論文レビュー] Tensor networks for non-invertible symmetries in 3+1d and beyond

Pranay Gorantla, Shu-Heng Shao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2024

Advanced NMR Techniques and Applications被引用数 8

ひとこと要約

本論文は ZX-calculus と ZX-diagram を用いて、格子モデル上の非可逆的-duality演算子（1+1d の Kramers-Wannier、3+1d の Wegner duality）を構築・解析し、それらの演算子代数を導出するとともに、グラフ上の一般化Isingモデルへ拡張する。これにより、平行移動との混合と Lieb-Schultz-Mattis 型制約の現れが明らかになる。

ABSTRACT

Tensor networks provide a natural language for non-invertible symmetries in general Hamiltonian lattice models. We use ZX-diagrams, which are tensor network presentations of quantum circuits, to define a non-invertible operator implementing the Wegner duality in 3+1d lattice $\mathbb{Z}_2$ gauge theory. The non-invertible algebra, which mixes with lattice translations, can be efficiently computed using ZX-calculus. We further deform the $\mathbb{Z}_2$ gauge theory while preserving the duality and find a model with nine exactly degenerate ground states on a torus, consistent with the Lieb-Schultz-Mattis-type constraint imposed by the symmetry. Finally, we provide a ZX-diagram presentation of the non-invertible duality operators (including non-invertible parity/reflection symmetries) of generalized Ising models based on graphs, encompassing the 1+1d Ising model, the three-spin Ising model, the Ashkin-Teller model, and the 2+1d plaquette Ising model. The mixing (or lack thereof) with spatial symmetries is understood from a unifying perspective based on graph theory.

研究の動機と目的

• 量子棋子系における群論的記述を超える非可逆対称性の研究を動機付ける。
• 1+1d および 3+1d で非可逆的 duality 演算子を構築・操作するための ZX-calculus に基づくテンソルネットワーク枠組みを提供する。
• これらの演算子が空間平行移動と混ざり合い、Lieb-Schultz-Mattis 型の制約を誘導する様子を示す。
• グラフ上の一般化 Ising モデルに対して ZX-diagram 形式を拡張し、非可逆的 dualities とパリティ対称性を捉える。

提案手法

• duality 演算子を ZX-diagrams として提示し、格子構成間の写像を符号化する（1+1d の KW および 3+1d の Wegner duality）。
• ZX-calculus の書換規則を用いて非可逆演算子代数と格子演算子への作用を導く。
• Wegner duality が (1,1,1) 方向の格子平行移動を含むことを示し、それを toric-code 基底状態へ結びつける。
• 積状態から toric-code 基底状態を作る凝縮演算子を導入する。
• 対話 duality を保存しつつ Z2 格子ゲージ理論を変形し、縮退基底状態と LSM-type 制約を探索する。
• 二部グラフ上の一般化 TFIM に対する非可逆 dualities の ZX-diagram 表現を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可逆 duality 対称性をテンソルネットワーク枠組みの下でどのように表現・解析できるか。
• RQ2 3+1d における非可逆 Wegner duality 演算子の代数は何か、そしてそれが格子平行移動とどのように相互作用するか。
• RQ3 非可逆 duality の概念をグラフ上の一般化 Ising モデルへ拡張できるか、空間対称性と混ざり合う条件は何か。
• RQ4 変形されたモデルにおける基底状態縮退と LSM-type 制約に対するこれらの非可逆対称性の含意は何か。
• RQ5 ZX-diagrams はこれらの系における可逆・非可逆のパリティ/反転対称性をいかに特徴づけるか。

主な発見

• 3+1d 格子 Z2 ゲージ理論における非可逆 Wegner duality 演算子を、元のヒルベルト空間上の ZX-diagram として構築。
• Wegner duality 演算子代数には (1,1,1) 方向の格子平行移動が含まれ、1+1d KW の観察を一般化する。
• 積状態を3+1d toric-code 基底状態へ写像する凝縮演算子を定義し、双対性とトポロジカル秩序を結びつける。
• 対称性を保存する Z2 格子ゲージ理論の変形が、トーラス上で9つの完全に縮退した基底状態をもつモデルへと導くことを示し、LSM-type 制約と整合する。
• 一般化 TFIM の非可逆 dualities への ZX-diagram 表現を二部グラフ上で拡張し、雙対演算子が空間対称性と混ざる場合と混ざらない場合を明確にする。
• この枠組みは、1+1d、3+1d、グラフベースの Ising様モデルにおける非可逆 dualities を統一し、非可逆なパリティ/反射対称性も含む。