[論文レビュー] Tensor product in symmetric function spaces

С. В. Асташкин|ArXiv.org|Dec 29, 1998

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、Lorentz空間およびLorentz-Zygmund空間におけるテンソル積作用素 $ B(x,y)(s,t) = x(s)y(t) $ の有界性を研究するため、対称関数空間における乗算子空間の概念を導入する。O’Neilの定理を拡張し、$ L_{pr} \times L_{pq} $ 上での $ B $ の正確な像を特徴づけ、$ p < r \leq q $ の場合に作用素が $ L_{ps} $ よりも厳密に小さい空間に値をとることを示し、$ r^{-1} + q^{-1} - p^{-1} < 0 $ の場合に理論的ギャップを解消する。主な貢献は、$ \alpha = r^{-1} - p^{-1} $ として、正確なLorentz-Zygmund型ターゲット空間 $ E(p,r,q) = L_{ps} \cap L_{pq}(\log L)^\alpha $ の構成であり、これはテンソル積の鋭い像を捉えている。

ABSTRACT

A concept of multiplicator of symmetric function space concerning to projective tensor product is introduced and studied. This allows to obtain some concrete results. In particular, the well-known theorem of R. O'Neil about the boundedness of tensor product in the Lorentz spaces L_{p,q} is discussed.

研究の動機と目的

• 古典的条件が成立しない場合、特に $ r^{-1} + q^{-1} - p^{-1} < 0 $ の場合に、Lorentz空間 $ L_{pq} $ におけるテンソル積作用素 $ B(x,y)(s,t) = x(s)y(t) $ の有界性に関するO’Neilの定理を拡張すること。
• 対称関数空間 $ E $ の乗算子空間 $ M(E) $ を定義・研究すること。これは、すべての $ y \in E $ に対して $ x \otimes y \in E(I \times I) $ を満たす関数 $ x $ を特徴づける。
• テンソル積 $ B $ が $ L_{pr} \times L_{pq} $ から $ E(I \times I) $ に有界であるような最小の対称空間 $ E $ を特定すること。特に $ r > p $ の場合に注目する。
• 複素補間法とLorentz-Zygmund空間 $ L_{pq}(\log L)^\alpha $ を用いて、$ B $ の像の特徴づけを精緻化し、対数関数の任意の正の冪まで鋭さを達成すること。

提案手法

• 対称空間 $ E $ の乗算子空間 $ M(E) $ を定義する。これは、すべての $ y \in E $ に対して $ x \otimes y \in E(I \times I) $ を満たす関数 $ x $ の集合であり、作用素ノルム $ \|x\|_{M(E)} = \sup_{\|y\|_E \leq 1} \|x \otimes y\|_{E(I \times I)} $ を備える。
• 複素補間法を用いて $ B $ の有界性を分析し、補間性質（$ B $ が二つの空間ペairで有界であれば、それらの中間空間ペairでも有界）を活用する。
• 補題2.3の補間結果を適用する。これは、$ p, q, \alpha $ に適切な条件が満たされれば、$ [L_{p_0,q_0}(\log L)^{\alpha_0}, L_{p_1,q_1}(\log L)^{\alpha_1}]_\theta \simeq L_{pq}(\log L)^\alpha $ が成り立つというものである。
• 基本関数と拡大作用素のノルムを用いて $ M(E) $ の上界および下界を導出し、特にLorentz空間のような特定の場合に明示的な計算が可能になるようにする。
• 結果の鋭さを検証するために、$ \psi_{p\alpha}(u) = u^{-1/p} \ln^{-\alpha}(e/u) $ の形をしたテスト関数を用いる。特に、$ \beta > r^{-1} - p^{-1} $ の場合に $ B $ が $ L_{pq}(\log L)^\beta $ に値をとらないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $ p, r, s $ に対して $ r \leq s $ のとき、$ B: L_{pr} \times E \to L_{ps}(I \times I) $ が有界となるような最大の対称空間 $ E $ として $ L_{p q^*} $ が成り立つか？
• RQ2 固定された $ p, r, q $ に対して $ r \leq q $ のとき、$ B: L_{pr} \times L_{pq} \to E(I \times I) $ が有界となるような最小の対称空間 $ E $ として $ L_{p s^*} $ が成り立つか？
• RQ3 O’Neilの定理がカバーしない場合、すなわち $ r^{-1} + q^{-1} - p^{-1} < 0 $ のとき、テンソル積 $ B: L_{pr} \times L_{pq} \to E(I \times I) $ の像を正確に特徴づけられるか？
• RQ4 $ p < r \leq q $ の場合に、$ B $ の正確なターゲット空間は何か？ これは $ L_{ps} $ や $ L_{pq}(\log L)^\alpha $ とどのように異なるか？

主な発見

• 本稿は、$ p < r = s $ の場合に質問(a)に対して肯定的な答えを示し、$ L_{p q^*} $ が実際に $ B: L_{pr} \times E \to L_{ps}(I \times I) $ が有界となるような最大の空間 $ E $ であることを示している。
• $ p < r \leq q $ の場合、テンソル積 $ B $ は空間 $ E(p,r,q) = L_{ps} \cap L_{pq}(\log L)^\alpha $（$ \alpha = r^{-1} - p^{-1} $）に値をとる。これは $ L_{ps} $ よりも厳密に小さく、$ L_{pq}(\log L)^\alpha $ よりも厳密に小さいため、質問(b)に対して否定的な答えが得られた。
• 定理2.1は、$ 1 < p < \infty $、$ p < r \leq q \leq \infty $ の場合に、$ s^{-1} = r^{-1} + q^{-1} - p^{-1} $、$ \alpha = r^{-1} - p^{-1} $ を満たすとき、$ B: L_{pr} \times L_{pq} \to E(p,r,q)(I \times I) $ が有界であることを示している。
• 定理2.5は、任意の $ \beta > r^{-1} - p^{-1} $ に対して $ B $ が $ L_{pq}(\log L)^\beta $ に値をとらないことを示しており、対数因子 $ (\log L)^{r^{-1} - p^{-1}} $ が対数関数の任意の正の冪まで鋭いことを示している。
• 系2.7は、$ E(p,r,q) = L_{ps} \cap L_{pq}(\log L)^\alpha $ としてターゲット空間を明示的に構成しており、これは $ L_{ps} $ も $ L_{pq}(\log L)^\alpha $ も等しくないため、鋭さを達成するために交差が必要であることを示している。
• $ r = q = \infty $ の場合が極端なケースであることが示された：$ L_{p\infty}(\log L)^{-1/p} $ は、$ B: L_{p\infty} \times L_{p\infty} \to E(I \times I) $ が有界となるような最小の対称空間 $ E $ である。