[論文レビュー] Tensor product varieties and crystals. ADE case

Anton Malkin|ArXiv.org|Mar 5, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ADE型ディンキン図形に関連するテンソル積および多重度多様体を導入し、これらの多様体の既約成分におけるクリスタル構造の幾何的実現を確立する。テンソル積多様体の既約成分の集合は、有限次元χ表現のテンソル積の正規基底のクリスタルと同型なχクリスタル構造を持つことが示され、多重度多様体は幾何的にテンソル積の多重度を符号化する。

ABSTRACT

Let g be a simple simply laced Lie algebra. In this paper two families of varieties associated to the Dynkin graph of g are described: ``tensor product'' and ``multiplicity'' varieties. These varieties are closely related to Nakajima's quiver varieties and should play an important role in the geometric constructions of tensor products and intertwining operators. In particular it is shown that the set of irreducible components of a tensor product variety can be equipped with a structure of g-crystal isomorphic to the crystal of the canonical basis of the tensor product of several simple finite dimensional representations of g, and that the number of irreducible components of a multiplicity variety is equal to the multiplicity of a certain representation in the tensor product of several others. Moreover the decomposition of a tensor product into a direct sum is described geometrically (on the level of crystals).

研究の動機と目的

• ADE型ディンキン図形に関連する2つの代数的多様体族、すなわちテンソル積多様体と多重度多様体を定義し、それらを研究すること。
• 単純なリー代数χの有限次元表現のテンソル積の正規基底のクリスタル構造の幾何的実現を確立すること。
• 与えられた表現のテンソル積における多重度に等しい、多重度多様体の既約成分の数が成立することを示すこと。
• これらの多様体の既約成分を通じて、テンソル積の直和への分解を幾何的に解釈すること。

提案手法

• 再帰的リー代数\mathfrak{g}' = \mathfrak{g} \oplus \mathfrak{t}の表現を用いて、テンソル積多様体{}^n\mathfrak{T}(\mu^1,\ldots,\mu^n;\nu)と多重度多様体{}^n\mathfrak{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n)を定義する。
• 特にn=1の場合、{}^1\mathfrak{S}(\mu^0;\mu^1)と{}^1\mathfrak{T}(\mu^1;\nu)が\mathfrak{M}^{\text{reg}}_0(v,w)と解体写像のファイバーに一致するというナカジマのクーヴィー多様体を基礎的構成要素として用いる。
• 2つの標準的全単射\alpha_n: {}^n\mathcal{T}(\mu^1,\ldots,\mu^n) \xrightarrow{\sim} \mathcal{M}(\mu_1) \times \cdots \times \mathcal{M}(\mu_n)と\beta_n: {}^n\mathcal{T}(\mu^1,\ldots,\mu^n) \xrightarrow{\sim} \bigsqcup_{\mu_0} {}^n\mathcal{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n) \times \mathcal{M}(\mu^0)を構成する。
• 合成写像\tau_n = \beta_n \circ \alpha_n^{-1}が、テンソル積クリスタル\mathcal{M}(\mu_1) \otimes \cdots \otimes \mathcal{M}(\mu_n)と直和\bigoplus_{\mu_0} {}^n\mathcal{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n) \otimes \mathcal{M}(\mu^0)の間の\mathfrak{g}'-クリスタル同型写像であることを証明する。
• 一般の場合をn=2に還元し、その後、レヴィ部分代数への制限を用いて\mathfrak{sl}_2の場合に帰着させる。基本ケースでは線形代数の既知の結果を活用する。
• ジョセフ[Jos95]の一意性定理を用いて、ナカジマのクリスタル\mathcal{M}(\mu)と最高重量\muの\mathfrak{g}'の既約表現の正規基底との間の同型を再導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元χ表現のテンソル積の正規基底のクリスタル構造は、代数的多様体の既約成分を通じて幾何的に実現可能か？
• RQ2 多重度多様体の既約成分は、与えられた既約表現のテンソル積における多重度とどのように関係するか？
• RQ3 テンソル積の直和への分解をクリスタルのレベルで幾何的に実現する構成は存在するか？
• RQ4 ナカジマの多様体と正規基底の間のクリスタル同型写像は、テンソル積および多重度多様体の幾何的構造を用いて再導出可能か？
• RQ5 図(A.3.1)は、クーヴィー多様体のフィルトレーションおよび部分多様体とテンソル積多様体をどのように関連付けるか？

主な発見

• テンソル積多様体{}^n\mathfrak{T}(\mu^1,\ldots,\mu^n;\nu)の既約成分の集合は、\mathfrak{g}'の最高重量\mu^1,\ldots,\mu^nをもつn個の既約表現のテンソル積の正規基底のクリスタルと同型な自然な\mathfrak{g}'-クリスタル構造を有する。
• 多重度多様体{}^n\mathfrak{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n)の既約成分の数は、既約表現L(\mu^0)がテンソル積L(\mu^1) \otimes \cdots \otimes L(\mu^n)に現れる多重度に等しい。
• 合成写像\tau_n = \beta_n \circ \alpha_n^{-1}は、テンソル積クリスタル\mathcal{M}(\mu_1) \otimes \cdots \otimes \mathcal{M}(\mu_n)と直和\bigoplus_{\mu_0} {}^n\mathcal{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n) \otimes \mathcal{M}(\mu^0)の間の\mathfrak{g}'-クリスタル同型写像を提供し、テンソル積の分解を幾何的に実現する。
• 証明は、パラボリック部分代数への制限を用いて\mathfrak{sl}_2の場合に還元され、その場合、線形代数の事実として自明な命題に帰着される。
• この構成は、ナカジマのクリスタル\mathcal{M}(\mu)と最高重量\muの\mathfrak{g}'の既約表現の正規基底との同型写像を、テンソル積に関して閉じたクリスタル族の一意性を用いて別証明として与える。
• 図(A.3.1)は、フィルトレーションごとのファイバーが多重度多様体に同型であるファイブレーションの全空間を実現し、この全空間の既約成分の数は\dim_{\mathbb{C}}\operatorname{Hom}_{\mathfrak{g}'}(L(d,v), L(\mathbf{d}^1,\mathbf{v}^1) \otimes \cdots \otimes L(\mathbf{d}^n,\mathbf{v}^n))に等しい。