[論文レビュー] Tensor products and Correlation Estimates with applications to Nonlinear Schrödinger equations

Jim Colliander, Manoussos G. Grillakis+1 more|ArXiv.org|Jul 5, 2008

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、テンソル積法と交換子ベクトル作用素を用いて、1次元および2次元における非線形シュレーディンガー方程式に対して、新しい相互作用モラウェッツ型相関推定を確立する。2次元におけるL^2-上臨界非線形性のH^1散乱を直接的に証明し、エネルギー空間以下の範囲で、そのような方程式のクラスについて、グローバルな適切性と散乱を確立する。

ABSTRACT

We prove new interaction Morawetz type (correlation) estimates in one and two dimensions. In dimension two the estimate corresponds to the nonlinear diagonal analogue of Bourgain's bilinear refinement of Strichartz. For the 2d case we provide a proof in two different ways. First, we follow the original approach of Lin and Strauss but applied to tensor products of solutions. We then demonstrate the proof using commutator vector operators acting on the conservation laws of the equation. This method can be generalized to obtain correlation estimates in all dimensions. In one dimension we use the Gauss-Weierstrass summability method acting on the conservation laws. We then apply the 2d estimate to nonlinear Schrödinger equations and derive a direct proof of Nakanishi's $H^1$ scattering result for every $L^{2}$-supercritical nonlinearity. We also prove scattering below the energy space for a certain class of $L^{2}$-supercritical equations.

研究の動機と目的

• 1次元および2次元空間における非線形シュレーディンガー方程式に対する、新しい相互作用モラウェッツ型（相関）推定を導出すること。
• 運動量保存則と単調性公式を用いて、3次元以上の次元における既知の事前推定を体系的に得る方法を提供すること。
• 2次元における相関推定を用いて、2次元におけるL^2-上臨界非線形性の散乱結果を証明すること。
• 2次元におけるL^2-上臨界方程式のクラスについて、エネルギー空間以下の範囲でグローバルな適切性と散乱を確立すること。
• テンソル積技術と保存則に作用する交換子ベクトル作用素を用いて、高次元への解析を拡張すること。

提案手法

• 2つのアプローチを用いて2次元相関推定を導出する：(1) リンとストラウスに従う解のテンソル積、および (2) 保存則に作用する交換子ベクトル作用素。
• 保存則にガウス＝ワイエルシュトラス和法を適用して、1次元相関推定を導出する。
• 2次元相関推定をエネルギー臨界型およびL^2-上臨界型非線形シュレーディンガー方程式（p > 3）に適用する。
• I作用素を用いた修正エネルギー法を用いて、エネルギー空間以下の高次のソボレフノルムを制御する。
• dyadic分解とストリカールツ推定を用いたブートストラップ法により、モラウェッツ制御をグローバルストリカールツ制御に高める。
• 固定点法および連続性の議論を用いて、s > 1 - 1/(4k - 3) におけるH^sでの漸近的完全性および散乱を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元および2次元における非線形シュレーディンガー方程式に対して、新しい相互作用モラウェッツ型相関推定を導出可能か？
• RQ2 テンソル積法と交換子ベクトル作用素アプローチを用いて、相関推定を高次元に一般化できるか？
• RQ3 2次元における相関推定を用いて、2次元におけるL^2-上臨界非線形性のH^1散乱を証明できるか？
• RQ4 L^2-上臨界方程式について、エネルギー空間以下の範囲でグローバルな適切性と散乱を保証するための正則性指数sの条件は何か？
• RQ5 モラウェッツ推定をどの程度までグローバルストリカールツ制御に高められるか、漸近的完全性の確立に寄与するか？

主な発見

• 本稿では、ボアインの2次元ストリカールツの双線形精錬の非線形対角類似物に対応する新しい2次元相関推定を確立する。
• 2次元推定に対して、2通りの異なる証明が提供される：1つは解のテンソル積によるもの、もう1つは保存則に作用する交換子ベクトル作用素によるもの。
• 2次元相関推定は、2次元におけるすべてのL^2-上臨界非線形性について、ナカニシのH^1散乱結果の直接的証明を可能にする。
• エネルギー空間以下の範囲で、L^2-上臨界方程式のクラスについて、s > 1 - 1/(4k - 3) におけるH^sでグローバル適切性と散乱が確立される。
• dyadic分解と小データの議論を用いて、グローバルモラウェッツ推定がグローバルストリカールツ制御に高められ、漸近的完全性の証明が可能になる。
• 本稿では、s > s_k = 1 - 1/(4k - 3) のとき、解のH^sノルムが時間に対して一様に有界であることが示され、これはグローバル存在と散乱を意味する。