[論文レビュー] Tensor products and the semi-Browder joint spectra

Enrico Boasso|ArXiv.org|May 21, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間上の可換な有界作用素の族のテンソル積に対する連続スペクトルマッピング公式を一般化し、特に作用素 $S$ と $T$ の対応するスペクトルを用いて、$(S\otimes I, I\otimes T)$ の半ブローダーおよび分割半ブローダー連続スペクトルを特徴づけている。主な結果は、コシュール複体と欠損スペクトルや近似点スペクトルなどのスペクトル不変量を用いて、既知のヒルバート空間における公式をバナッハ空間へ拡張したものである。

ABSTRACT

Given two complex Banach spaces $X_1$ and $X_2$, a tensor product of $X_1$ and $X_2$, $X_1 ilde{\otimes}X_2$, in the sense of J. Eschmeier ([5]), and two finite tuples of commuting operators, $S=(S_1,\ldots ,S_n)$ and $T=(T_1,\ldots ,T_m)$, defined on $X_1$ and $X_2$ respectively, we consider the $(n+m)$-tuple of operators defined on $X_1 ilde{\otimes}X_2$, $(S\otimes I,I\otimes T)= (S_1\otimes I,\ldots ,S_n\otimes I,I\otimes T_1,\ldots ,I \otimes T_m)$, and we give a description of the semi-Browder joint spectra introduced by V. Kordula, V. Müller and V. Rako$\check{c}$evi$\acute{ c}$ in [7] and of the split semi-Browder joint spectra (see section 3), of the $(n+m)$-tuple $(S\otimes I ,I\otimes T)$, in terms of the corresponding joint spectra of $S$ and $T$. This result is in some sense a generalization of a formula obtained for other various Browder spectra in Hilbert spaces and for tensor products of operators and for tuples of the form $(S\otimes I ,I\otimes T)$. In addition, we also describe all the mentioned joint spectra for a tuple of left and right multiplications defined on an operator ideal between Banach spaces in the sense of [5].

研究の動機と目的

• ヒルバート空間から一般の複素バナッハ空間への作用素のテンソル積に関する既知の連続スペクトル公式を拡張すること。
• バナッハ空間上での可換作用素族に対する分割半ブローダー連続スペクトルを定義し、その主要なスペクトル的性質を明らかにすること。
• $(S\otimes I, I\otimes T)$ の半ブローダーおよびフレドホルム連続スペクトルを $S$ と $T$ のスペクトルを用いて計算すること。
• 同様の枠組みを用いて、バナッハ空間間の作用素イデアル上での左乗算および右乗算作用素の連続スペクトルを記述すること。
• 非ヒルバート的状況下におけるテンソル積と連続スペクトルの文脈で、これまでのブローダースペクトルに関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• バナッハ空間上での可換作用素族に対する分割半ブローダー連続スペクトルを定義し、コンパクト性、空でない性質、スペクトルマッピング性などのスペクトル的性質を証明する。
• 作用素族に付随するコシュール複体を用いてスペクトル不変量を分析し、特にテンソル積族に対して $\tilde{K}^r \cong K_1^r \tilde{\otimes} K_2'^r$ という同型を活用する。
• 本質的分割欠損スペクトルの解析的スペクトルマッピング定理および随伴作用素の性質を用いて包含関係を導出する。
• ブルーニ、ハーテ、ウィクステッドのフレドホルムおよび半フレドホルム連続スペクトルを分析の基盤として用いる。
• 欠損スペクトルと近似点スペクトルの双対性、特に $\sigma_\pi(T) = \sigma_\delta(T')$ および $\sigma_{\mathcal{B}_+}(T) = \sigma_{\mathcal{B}_-}(T')$ を通じた双対性に基づく同型を用いる。
• 既存の結果（例：定理5.1）の証明を、標準的スペクトル道具に代えて分割スペクトル不変量と双対性論法を用いることで再構成し、包含関係の鎖を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間上での作用素 $S$ と $T$ の対応するスペクトルを用いて、テンソル積族 $(S\otimes I, I\otimes T)$ の半ブローダー連続スペクトルはどのように関係するか？
• RQ2 このようなテンソル積族に対する分割半ブローダー連続スペクトルの構造は何か？ また、標準スペクトルおよび欠損スペクトルとはどのように関係するか？
• RQ3 スペクトルの包含関係が等式に変わる条件は何か、特にヒルバート空間の場合には？
• RQ4 作用素イデアル上での左乗算および右乗算作用素 $L_S, R_T$ の連続スペクトルは、生成作用素のスペクトルとどのように関係するか？
• RQ5 コシュール複体のスペクトルマッピング性を用いて、非ヒルバート的状況下での半ブローダースペクトルに対するスペクトル包含関係を導出できるか？

主な発見

• 半ブローダー連続スペクトル $\sigma_{{\mathcal{B}}_-}(S\otimes I, I\otimes T)$ は包含関係 $\sigma_{{\mathcal{B}}_-}(S) \times \sigma_\pi(T) \cup \sigma_\delta(S) \times \sigma_{{\mathcal{B}}_+}(T) \subseteq \sigma_{{\mathcal{B}}_-}(S\otimes I, I\otimes T)$ を満たす。
• 分割半ブローダー連続スペクトルは $sp_{{\mathcal{B}}_-}(S\otimes I, I\otimes T) \subseteq sp_{{\mathcal{B}}_-}(S) \times sp_\pi(T) \cup sp_\delta(S) \times sp_{{\mathcal{B}}_+}(T)$ を満たす。
• ヒルバート空間の場合、半ブローダーおよび分割半ブローダースペクトルの両方の包含関係が等式に一致し、ヒルバート空間設定における既知の結果を一般化する。
• 作用素イデアル上での左乗算および右乗算作用素 $L_S, R_T$ の連続スペクトルは $\sigma_{{\mathcal{B}}_-}(L_S, R_T) \supseteq \sigma_{{\mathcal{B}}_-}(S) \times \sigma_\pi(T) \cup \sigma_\delta(S) \times \sigma_{{\mathcal{B}}_+}(T)$ を満たす。
• 証明は、テンソル積のコシュール複体と個々のコシュール複体のテンソル積との同型性に依拠しており、ホモロジー代数的手法によるスペクトル解析を可能にする。
• 双対性 $\sigma_\pi(T)$ と $\sigma_\delta(T')$、および $\sigma_{{\mathcal{B}}_+}(T)$ と $\sigma_{{\mathcal{B}}_-}(T')$ の間の関係により、スペクトル不変量が双対空間間で移動可能となり、包含関係の確立に不可欠である。