[論文レビュー] Tensor products in the category of topological vector spaces are not associative

Helge Glöckner|ArXiv.org|Jul 3, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、一般（局所凸でない）位相線形空間の圏におけるテンソル積が結合的でないことを、空間 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ を反例として用いて示している。反例により、繰り返しテンソル積 $(E \otimes E) \otimes E$、$E \otimes (E \otimes E)$、および $E \otimes E \otimes E$ が、ハウスドルフの場合ですら、標準的に同型でないことが示され、位相代数における基礎的仮定を揺るがしている。

ABSTRACT

We show by example that the associative law does not hold for tensor products in the category of general (not necessarily locally convex) topological vector spaces. The same pathology occurs for tensor products of Hausdorff abelian topological groups.

研究の動機と目的

• 一般位相線形空間の圏におけるテンソル積の結合律が成り立つかを調査すること。
• 非局所凸な制限付きのカテゴリ、すなわちハウスドルフおよび完備ハウスドルフ位相線形空間のカテゴリに制限した場合でも、結合律の不成立が維持されるかを同定すること。
• アーベル位相群のカテゴリへの分析を拡張し、同様の非結合的挙動が生じるかを評価すること。
• 繰り返しテンソル積の同型でないことを示すために、$\mathbb{R}^\mathbb{N}$ を用いた具体的な反例を提供すること。

提案手法

• 各因子空間における平衡的零近傍の積の像によって生成される零近傍の基底を用いて、代数的テンソル積 $E_1 \otimes \cdots \otimes E_n$ に位相を定義すること。
• この位相が、自然な $n$-重線形写像 $\tau$ を連続にし、位相線形空間の圏におけるテンソル積の普遍性を満たすことを確立すること。
• 外側の因子 $E_1$ および $E_3$ が局所有界である場合、$(E_1 \otimes E_2) \otimes E_3$ と $E_1 \otimes (E_2 \otimes E_3)$ が標準的に同型であることを証明すること。
• $E = \mathbb{R}^\mathbb{N}$ に対して $E \otimes (E \otimes E)$ と $(E \otimes E) \otimes E$ の間に同型が存在すると仮定し、有限ランク行列近似における密度の矛盾を導くこと。
• ランク $\leq N/2$ の行列の集合が $M_N(\mathbb{R})$ に稠密でないという事実を用いて、ある和集合がテンソル積空間に稠密であるという仮定に矛盾すること。
• 同様の議論を、ハウスドルフ位相線形空間のカテゴリおよびハウスドルフアーベル位相群のカテゴリに適用し、非同型性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般位相線形空間の圏において、繰り返しテンソル積の結合律は成り立つか？
• RQ2 ハウスドルフ位相線形空間のカテゴリに制限した場合でも、結合律の不成立は維持されるか？
• RQ3 ハウスドルフアーベル位相群のカテゴリにおいても、同様の非結合的現象が生じるか？
• RQ4 繰り返しテンソル積の非同型性は、$\mathbb{R}^\mathbb{N}$ を反例として示すことができるか？
• RQ5 完備ハウスドルフ位相線形空間のカテゴリにおけるテンソル積構成は結合的か？

主な発見

• $E = \mathbb{R}^\mathbb{N}$ の場合、一般実位相線形空間の圏において、繰り返しテンソル積 $(E \otimes E) \otimes E$、$E \otimes (E \otimes E)$、および $E \otimes E \otimes E$ は、標準的に同型ではない。
• 非同型性は、テンソル積空間 $\mathbb{R}^N \otimes \mathbb{R}^N$ における有限ランク行列近似の稠密性に関する矛盾に起因する。
• ランク $\leq N/2$ の基本テンソルの集合は $\mathbb{R}^N \otimes \mathbb{R}^N$ に稠密でないため、同型の仮定に矛盾する。
• ハウスドルフ実位相線形空間のカテゴリにおいても、結合律の不成立は維持され、テンソル積は非同型のままである。
• 同様の病理は、ハウスドルフアーベル位相群のカテゴリにおいても生じ、繰り返しテンソル積は非結合的である。
• 関連するテンソル積が完備であるため、完備ハウスドルフ位相線形空間のカテゴリに対しても、この結果は成り立つ。