[論文レビュー] Tensor products of C(X)-algebras over C(X)

Étienne Blanchard|Dec 15, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、C(X)-代数のテンソル積におけるC*-ノルムを調査し、その存在を特徴付けるために理想 I(A,B) と J(A,B) を導入する。商 (A⊗ₐₗgB)/J(A,B) における最小および最大のC*-ノルムの存在を証明し、I(A,B) = J(A,B) となる条件を確立し、エリオットの問いに答えを提示する。主な貢献は、コンパクトなハウスドルフ空間上の連続的フィールドのC*-代数のテンソル積を扱う枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

Given a Hausdorff compact space X, we study the C^*-(semi)-norms on the algebraic tensor product $A\otimes_{alg,C(X)} B$ of two C(X)-algebras A and B over C(X). In particular, if one of the two C(X)-algebras defines a continuous field of C^*-algebras over X, there exist minimal and maximal C^*-norms on $A\otimes_{alg,C(X)} B$ but there does not exist any C^*-norm on $A\otimes_{alg,C(X)} B$ in general.

研究の動機と目的

• 2つのC(X)-代数の代数的テンソル積におけるC*-ノルムを、連続的フィールドのC*-代数の文脈で研究すること。
• C(X) 上の A⊗ₐₗgB に一般のC*-ノルムが存在しない問題に取り組むこと、すなわち両方の代数が連続的フィールドであっても同様に成り立つ。
• I(A,B) と J(A,B) を定義し、解析すること。ここで I(A,B) はC(X)-加群の関係を捉え、J(A,B) はすべてのC*-半ノルムが I(A,B) 上で消えるような最大の理想である。
• G.A. エリオットが提起した、I(A,B) = J(A,B) となる条件を解き、これがテンソル積にC*-ノルムが存在するかどうかを決定すること。
• C(X) 上の最小および最大テンソル積の結合的性質を調査し、最大テンソル積は結合的であるが、最小テンソル積は一般には結合的でないことを示すこと。

提案手法

• I(A,B) を、f ∈ C(X), a ∈ A, b ∈ B に対して (fa)⊗b − a⊗(fb) の形の元で生成される、A⊗ₐₗgB 内の自己随伴的理想と定義し、C(X)-加群構造を捉える。
• J(A,B) を、すべての x ∈ X に対して αₓ = 0 となる A⊗ₐₗgB 内の元 α の集合として定義し、これは I(A,B) を含む。
• すべてのC*-半ノルムが I(A,B) 上で消えるならば、それらは J(A,B) 上でも消えることを証明し、J(A,B) がC*-ノルム理論の自然な商であることを示す。
• 表現論的および関数解析的技法を用いて、商 (A⊗ₐₗgB)/J(A,B) における最小C*-ノルム ‖·‖ₘ と最大C*-ノルム ‖·‖ₘ の存在を確立する。
• ヒルベルトC(X)-加群における忠実な表現のフィールドを用いて、A⊗ₘₗₐₗgB のC(X)-線形表現を構成し、連続的フィールドの場合の最小テンソル積の結合的性質の証明を可能にする。
• コンパクト空間上のクラメールの定理と連続性の議論を応用し、ある点で特定の行列が可逆であれば、その近傍でも可逆であることを示し、関数の拡張と、繊維上の恒等式における定数の消滅を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 I(A,B) が J(A,B) と一致するのはいつか？ これにより、商 (A⊗ₐₗgB)/J(A,B) がC*-ノルムをもつことが保証される。
• RQ2 商 (A⊗ₐₗgB)/J(A,B) における最小および最大のC*-ノルムは何か？ それらはX上の連続的フィールドのC*-代数の構造とどのように関係するか？
• RQ3 C(X)-代数の最小テンソル積は一般に結合的か？ どのような条件下で結合的になるか？
• RQ4 繊維上のノルム ‖aₓ‖ と A⊗ₐₗgB 上のグローバルノルムの関係は何か？ 上半連続性および下半連続性は構成において果たす役割は何か？
• RQ5 X 上の2つの連続的フィールドのC*-代数のテンソル積は、最小または最大のC*-ノルムを用いて連続的フィールドとして実現可能か？

主な発見

• 常に商 (A⊗ₐₗgB)/J(A,B) に最小C*-ノルム ‖·‖ₘ と最大C*-ノルム ‖·‖ₘ が存在し、一般の場合のノルムの存在問題を解決する。
• J(A,B) は、すべてのC*-半ノルムが I(A,B) 上で消えるような最大の理想であり、C(X) 上のC*-ノルム理論の自然な商である。
• I(A,B) = J(A,B) が成り立つのは、商 (A⊗ₐₗgB)/J(A,B) がC*-ノルムをもつときであり、これはテンソル積に連続的フィールド構造が存在することと同値である。
• C(X) 上の最大テンソル積 ⊗ₘ^{C(X)} は、C*-代数の最大テンソル積の繊維上の結合的性質により、C(X)-代数に対して結合的である。
• C(X)-代数の最小テンソル積 ⊗ₘ^{C(X)} は一般には結合的でない。アレクサンドロフのコンパクト化を用いた反例が存在する。
• 可分な連続的フィールドのC*-代数で、忠実な表現のフィールドをもつ場合、C(X) 上の最小テンソル積は結合的である。これは、関連するヒルベルトC(X)-加群上の表現が忠実であり、結合的性質を保つからである。