[論文レビュー] Tensor products of maximal abelian subalgebras of C*-algebras

Simon Wassermann|ArXiv.org|Nov 1, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、C*-代数における2つの最大アーベル自己随伴部分代数（masa）のテンソル積が、完成化されたテンソル積においても最大アーベルであるための条件を確立する。もし一方の masaが Kadison-Singer 拡張性質を持ち、他方が近似単位元を含むならば、任意の C*-ノルム β に対して $ C_1 \otimes C_2 $ は $ A_1 \otimes_\beta A_2 $ において最大アーベルである。反例により、両条件が満たされない場合には結果が成り立たないことが示され、長年の未解決問題が解決され、Kadison-Singer 問題と関連づけられる。

ABSTRACT

It is shown that if $C_1$ and $C_2$ are maximal abelian self-adjoint subalgebras (masas) of C*-algebras $A_1$ and $A_2$, respectively, then the completion $C_1\otimes C_2$ of the algebraic tensor product $C_1\odot C_2$ of $C_1$ and $C_2$ in any C*-tensor product $A_1\otimes_β A_2$ is maximal abelian provided that $C_1$ has the extension property of Kadison and Singer and $C_2$ contains an approximate identity for $A_2$. An example is given to show that $C_1\otimes C_2$ can fail to be a masa in $A_1\otimes_β A_2$ with $A_1$ and $A_2$ unital if neither $C_1$ nor $C_2$ has the extension property. This gives an answer to a long-standing question, but leaves open some other interesting problems, one of which turns out to have a potentially intriguing implication for the Kadison-Singer extension problem.

研究の動機と目的

• C*-代数における2つのmasaのテンソル積が、その周囲のC*-代数の完成化されたC*-テンソル積において最大アーベルである条件を特定すること。
• 最小ノルムを超えて任意のC*-ノルム β に対して $ C_1 \otimes C_2 $ が $ A_1 \otimes_\beta A_2 $ において最大アーベルであるかどうかという、長年の未解決問題を解消すること。
• テンソル積における最大性の維持にあたって、Kadison-Singer 拡張性質と近似単位元の役割を明確にすること。
• 両条件が満たされない場合に結果が成り立たないことを示す反例を提供し、定理が成立するための鋭い条件を同定すること。

提案手法

• 証明は [12, 定理 4] のスライス写像の結果を用い、$ C_1 \otimes_{\min} C_2 $ が $ A_1 \otimes_{\min} A_2 $ において masa であることを示し、状態の因子分解を用いて任意のC*-ノルムへ拡張する。
• 状態の因子分解に関する補題 1 を適用：$ A_1 \otimes_\beta A_2 $ 上の状態が $ A_1 $ 上に純粋状態に制限されるならば、その状態は $ \varphi_1 \otimes \varphi_2 $ に因子分解される。
• 背理法による議論：$ x \in (C \otimes 1)^c \setminus C \otimes A_2 $ を仮定し、$ C $ に真の閉イデアルを構成することで、拡張性質に矛盾を引き起こす。
• 非単位元の場合を扱うために C*-代数 $ A $ のユニタリ化 $ \tilde{A} $ を用い、$ \tilde{A}_1 \odot \tilde{A}_2 $ 上の拡張された C*-ノルムを $ \tilde{\beta} $ と表記する。
• 反例は、$ C^*_r(\mathbb{F}_2) $ の縮小 C*-代数と $ B(H) $ 内の C*-代数 $ A_0 \subset B(H) $ を用いて構成され、条件が満たされない場合に $ C_1 \otimes C_2 $ が $ A_1 \otimes_{\max} A_2 $ において最大アーベルでないことが示される。
• 構成には、$ B(H) $ 内の masa $ C_0 $ の弱-operator 位相での閉包が用いられ、$ \sigma(u(t \oplus 0)u) = \lambda 1 $ であることから、非単位元代数では $ \lambda = 0 $ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのmasaのテンソル積が、その周囲のC*-代数の完成化されたC*-テンソル積において最大アーベルであるための条件は何か？
• RQ2 一方のmasaが Kadison-Singer 拡張性質を持ち、他方が近似単位元を含むならば、そのテンソル積の最大アーベル性が保証されるか？
• RQ3 両条件が満たされない場合に結果が成り立たないことはあり得るか？ もし可能ならば、明示的な反例を構成できるか？
• RQ4 $ C_1 \otimes C_2 $ が $ A_1 \otimes_{\max} A_2 $ において最大アーベルであるという性質と、Kadison-Singer 拡張問題との関連は何か？
• RQ5 $ \ell^\infty(\mathbb{N}) \otimes \ell^\infty(\mathbb{N}) $ が $ B(\ell^2(\mathbb{N})) \otimes_{\max} B(\ell^2(\mathbb{N})) $ において最大アーベルでないならば、$ \ell^\infty(\mathbb{N}) $ は拡張性質を持たないのだろうか？

主な発見

• もし $ C_1 \subset A_1 $ が Kadison-Singer 拡張性質を持ち、$ C_2 \subset A_2 $ が近似単位元を含むならば、任意の C*-ノルム $ \beta $ に対して $ C_1 \otimes C_2 $ は $ A_1 \otimes_\beta A_2 $ において最大アーベルである。
• 両条件が満たされない場合には結果が成り立たない：$ C_1 \otimes C_2 $ が $ A_1 \otimes_{\max} A_2 $ において最大アーベルでないことを示す明示的な反例が構成された。
• 反例において、$ C_1 \subset C^*_r(\mathbb{F}_2) $ は拡張性質を持つmasa（標準的ユニタリにより生成）であり、$ C_0 \subset A_0 \subset B(H) $ は近似単位元を含まないmasaである。
• 構成により $ x \in (C_1 \otimes C_0)^c \setminus (C_1 \otimes C_0) $ が得られ、最大アーベル性の非成立が証明された。
• 本論文は、$ C_1 \otimes C_2 $ が $ A_1 \otimes_{\min} A_2 $ において最大アーベルであるが、$ A_1 \otimes_{\max} A_2 $ においては必ずしもそうではないことを示し、C*-ノルムの選択に敏感であることを強調した。
• 潜在的な含意として、$ \ell^\infty(\mathbb{N}) \otimes \ell^\infty(\mathbb{N}) $ が $ B(\ell^2(\mathbb{N})) \otimes_{\max} B(\ell^2(\mathbb{N})) $ において最大アーベルでないならば、$ \ell^\infty(\mathbb{N}) $ は Kadison-Singer 拡張性質を持たないのかもしれない。