[論文レビュー] Tensor products with bounded continuous functions

Dana P. Williams|ArXiv.org|Jul 9, 2003

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有界連続関数の空間とC*-代数の間のテンソル積同型を調査し、$ C^b(X) \otimes A \to C^b(X,A) $ が同型であるのは、$ X $ が擬コンパクトであるときかつそのときに限ることを示している。さらに、$ C^b(X,C^b(Y)) \to C^b(X\times Y) $ が同型であるのは、$ X $ と $ Y $ がともに擬コンパクトであるときであり、その結果、積空間のスティーネ・チェホフコンパクト化がコンパクト化の積に一致する条件が特定される。

ABSTRACT

We study that natural inclusions $C^b(X) ensor A$ into $C^b(X,A)$ and $C^b(X, C^b(Y))$ into $C^b(X imes Y)$. In particular, excepting trivial cases, both these maps are isomorphisms only when $X$ and $Y$ are pseudocompact. This implies a result of Glicksberg showing that the Stone-Cech compactificiation $β(X imes Y)$ is naturally identified with $βX imes βY$ if and only if $X$ and $Y$ are pseudocompact.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトハウスドルフ空間 $ X $ およびC*-代数 $ A $ に対して、自然な写像 $ C^b(X) \otimes A \to C^b(X,A) $ が同型である条件を同定すること。
• ノルム位相の下で、写像 $ C^b(X,C^b(Y)) \to C^b(X\times Y) $ の同型条件を分析すること。
• テンソル積同型を用いて、擬コンパクト性の位相的特徴づけを確立すること。
• テンソル積技法を用いて、グリックスバーグの結果 $ \beta(X \times Y) \cong \beta X \times \beta Y $ を回復・再証明すること。

提案手法

• 代数的テンソル積 $ C^b(X) \odot A $ 上にC*-ノルムを、$ C^b(X,A) $ の上界ノルムを用いて定義し、その完備化として $ C^b(X) \otimes A $ を得る。
• 関数 $ f \in C^b(X,A) $ が $ C^b(X) \otimes A $ に属するための必要十分条件として、$ f $ の像がコンパクト閉包を持つことであることを証明する。
• 局所コンパクト性およびパラコンパクト性の仮定の下で、分割の単位を用いて有限被覆を構成し、テンソル積内の関数を近似する。
• Frolíkの補題を用いて、$ Y $ が擬コンパクトであるとき、差のノルム $ \|f(x) - f(x_0)\|_\infty $ が連続であることを示す。
• 入れ子になった近傍と列を用いた背理法により、$ Y $ が擬コンパクトでない場合、写像 $ \iota_2 $ が全射でないことを示す。
• $ X \times Y $ の擬コンパクト性を用いて、$ C^b(Y) $ 内の収束部分列を抽出し、$ Y $ が擬コンパクトでない場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数 $ A $ に対して、自然な写像 $ \iota_1: C^b(X) \otimes A \to C^b(X,A) $ が同型であるのはどのような条件下か？
• RQ2 ノルム位相の下で、写像 $ \iota_2: C^b(X,C^b(Y)) \to C^b(X\times Y) $ が同型であるのはいつか？
• RQ3 $ X $ および $ Y $ の擬コンパクト性は、$ X \times Y $ のスティーネ・チェホフコンパクト化の構造にどのように影響するか？
• RQ4 $ C^b(X,A) $ 内の関数の像と、その完成化されたテンソル積 $ C^b(X) \otimes A $ への属する条件の関係は何か？
• RQ5 グリックスバーグの結果 $ \beta(X \times Y) \cong \beta X \times \beta Y $ は、テンソル積同型から導けるか？

主な発見

• $ A $ が無限次元である限り、写像 $ \iota_1: C^b(X) \otimes A \to C^b(X,A) $ が同型であるのは、$ X $ が擬コンパクトであるときかつそのときに限る。
• $ X $ が無限かつ擬コンパクトであると仮定すると、写像 $ \iota_2: C^b(X,C^b(Y)) \to C^b(X\times Y) $ が同型であるのは、$ Y $ が擬コンパクトであるときかつそのときに限る。
• $ X $ と $ Y $ が擬コンパクトであれば、自然な積写像の拡張により $ \beta(X \times Y) \cong \beta X \times \beta Y $ が成り立つ。
• 関数 $ f \in C^b(X,A) $ の像が前コンパクトであることは、$ f \in C^b(X) \otimes A $ であることに同値であり、これはテンソル積写像の像を特徴付ける。
• $ Y $ が擬コンパクトでない場合、関数 $ F \in C^b(X\times Y) $ を構成でき、その対応する $ f(x) = F(x,\cdot) $ が連続でないことが示され、$ \iota_2 $ が全射でないことが示される。
• 証明は、$ X $ 内の列 $ \{x_n\} $ と $ Y $ 内の互いに交わらないコンパクトな開集合の族 $ \{V_n\} $ を構成し、擬コンパクト性の下で $ f $ の連続性を仮定すると矛盾が生じることに依拠している。