[論文レビュー] Tensor renormalization group analysis of ${ m CP}(N-1)$ model in two dimensions

Hikaru Kawauchi, Shinji Takeda|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高次テンソル結合縮約法（HOTRG）を用いて2次元CP(N−1)模型のテンソルネットワーク表現を提示し、符号問題のない数値解析を可能にした。この手法は、CP(1)模型におけるHOTRG結果が、大β領域においてモンテカルロシミュレーションおよびO(3)非線形スピンモデルと整合することを確認し、トポロジカル項を含む非アーベル模型に対しても本手法の有効性を裏付けた。

ABSTRACT

We apply the higher order tensor renormalization group to lattice CP($N-1$) model in two dimensions. A tensor network representation of CP($N-1$) model is derived. We confirm that the numerical results of the CP(1) model without the $θ$-term using this method are consistent with that of the O(3) model which is analyzed by the same method in the region $β\gg 1$ and that obtained by Monte Carlo simulation in a wider range of $β$.

研究の動機と目的

• 2次元CP(N−1)模型の符号問題のない数値解析を可能にするテンソルネットワーク表現の開発。
• CP(1)模型に対するHOTRG手法の妥当性を、既存のモンテカルロシミュレーションおよびO(3)模型の結果と比較して検証すること。
• 将来のCP(N−1)模型におけるθ項の統合を可能にするフレームワークの構築。

提案手法

• ボルツマン重みの特徴関数的展開を用いて、CP(N−1)模型の分配関数のテンソルネットワーク表現を導出する。
• 修正ベッセル関数を用いて展開係数 h_{(l;m)}(β) を表現し、l_max で切断する。
• 場の依存する特徴関数 f_{(l;m)}(z_i,z_j) を複素スカラー場 z_i とその複素共役の積に分解する。
• N成分の複素スカラー場 z_i およびリンク変数 A_{i,j} を統合し、添字 l, m およびスピノル添字を持つサイトテンソルを導出する。
• 高次テンソル結合縮約法（HOTRG）を用いてテンソルネットワークを粗挙げ、分配関数を計算する。
• リンク統合後に l = m を強制するために、∫dA exp[i(m−l)A] = δ_{l,m} の制約を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HOTRG手法は、符号問題を回避しながら2次元CP(1)模型の熱力学的性質を正確に計算できるか？
• RQ2 CP(1)模型におけるHOTRG結果は、異なるβ値においてモンテカルロシミュレーションと定量的に一致するか？
• RQ3 既知の写像関係に従うとき、CP(1)模型のHOTRG結果はO(3)非線形スピン模型の結果と整合的か？
• RQ4 有限の l_max での切断が、CP(1)模型におけるHOTRG計算の系統的誤差に与える影響はいかほどか？
• RQ5 テンソルネットワークフレームワークは、CP(N−1)模型におけるθ項の導入に拡張可能か？その場合に生じる計算上の課題は何か？

主な発見

• l_max=2 におけるθ=0のCP(1)模型に対するHOTRG結果は、4×4格子上のモンテカルロシミュレーションと良好に一致しており、わずかな偏差は切断誤差に起因するとされる。
• HOTRGで計算されたCP(1)模型の平均エネルギーは、関係式 E_{CP(1)}(β) = E_{O(3)}(β) + 6 - 1/β を用いてマッピングしたO(3)模型の結果と一致し、大β領域での整合性が確認された。
• HOTRGにおける系統的誤差は l_max が増加するにつれて減少し、β→∞ の極限において正確な結果への収束が観察された。
• テンソルネットワーク表現は、特徴関数的展開および z と A の場の解析的統合を通じて、CP(N−1)模型の自由度を効果的に記述できた。
• 本手法は符号問題を有さないため、将来のCP(N−1)模型におけるθ項の研究に適している。
• θ≠0 の場合の計算コストは、l≠m 項の存在により高くなると予想され、さらなる最適化技術の導入が求められる。