[論文レビュー] Tensor renormalization group approach to critical phenomena via symmetry-twisted partition functions

Shinichiro Akiyama, Raghav G. Jha+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2026

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ひとこと要約

要約: 本論文はテンソル再正規化群（TRG）を用いて対称性ねじれ分配関数を計算し、Isingモデルおよび O(2) モデルにおける自発対称性 breaking（SSB）と臨界現象を検出できる。BKT転移を含む。

ABSTRACT

The locality of field theories strongly constrains the possible behaviors of symmetry-twisted partition functions, and thus they serve as order parameters to detect low-energy realizations of global symmetries, such as spontaneous symmetry breaking (SSB). We demonstrate that the tensor renormalization group (TRG) offers an efficient framework to compute the symmetry-twisted partition functions, which enables us to detect the symmetry-breaking transition and also to study associated critical phenomena. As concrete examples of SSB, we investigate the two-dimensional (2D) classical Ising model and the three-dimensional (3D) classical $O(2)$ nonlinear sigma model, and we identify their critical points solely from the twisted partition function. By employing the finite-size scaling argument, we find the critical temperature $T_c=2.2017(2)$ with the critical exponent $ν= 0.663(33)$ for the 3D $O(2)$ model. In addition, we also study the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) criticality of the 2D classical $O(2)$ model by extracting the helicity modulus from the twisted partition functions, and we obtain the BKT transition temperature, $T_{\mathrm{BKT}}=0.8928(2)$.

研究の動機と目的

• グローバル対称性の低エネルギー実現を、対称性ねじれ分配関数がどのように制約し、明らかにするかを調査する。
• TRGがねじれ分配関数を効率的に計算してSSBと臨界性を検出できることを実証する。
• 代表的なモデルのねじれ分配関数から臨界点と普遍データを抽出する。
• 2D O(2)モデルにおけるねじれ分配関数から導出されるねじれ剛性を用いてBKT転移を研究する。

提案手法

• 分配関数をテンソルネットワークとして表現し、サイト対称性のグローバル対称性を対称性ブロッキングで強制する。
• TRG縮約においてねじれ境界条件を適用してZ_g0を計算する（tTr_g0）。
• 対称性セクターによるブロック対角化を用いてねじれ寄与（Z_g0）と非ねじれ寄与（Z1）を分離する。
• Z_g0/Z1の有限サイズスケーリング解析を行いTcおよび臨界指数（例: nu）を抽出する。
• O(2)モデルの場合、ねじれによる応答をねじれ分配関数から導かれるねじれ剛性に関連付けてBKT物理を扱う。

Figure 1: $Z_{-1}/Z_{1}$ in the 2D Ising model. The vertical dashed line indicates the exact critical point $T_{c}=2/(\log(1+\sqrt{2}))$ . The horizontal dashed line denotes the exact value of $Z_{-1}/Z_{1}$ for the 2D Ising CFT, which is given by Eq. ( IV.2 ). The computation is done by the BTRG wi

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性ねじれ分配関数は、離散・連続対称性のいずれにおいてもSSBの頑健な秩序パラメータとなり得るか。
• RQ2 TRGはZ_g0/Z1を効率的に計算して臨界点と普遍データを決定できるか。
• RQ3 臨界点でのZ_g0/Z1の普遍的値はCFT予言とどう比較されるか、TRG結果とどう一致するか。
• RQ4 ねじれ分配関数は2D O(2)モデルにおけるねじれ剛性とBKT転移検出にどう寄与するか。

主な発見

• 2Dイジングでは、Z_{-1}/Z_{1}の交差がTcで収束し、2DイジングCFT予測と一致する。
• 3D O(2)では、臨界温度 Tc = 2.2017(2) と相関長指数 nu = 0.663(33) を同定する。
• 2D O(2)では、ねじれ分配関数から抽出されたねじれ剛性がBKT転移温度 Tc_BKT = 0.8928(2)を捉える。
• ねじれ分配関数比はSSBの明確な秩序パラメータとして機能し、大容積で対称相と破れ相を区別する。
• 対称性ブロック化を伴うTRGはセクター別ねじれと対称性制約を粗視化中も維持し、普遍データ抽出を正確に行える。

Figure 2: $Z_{-1}/Z_{1}$ as a function of $\log_{2}L$ in the 2D Ising model, with the temperature deviation $\Delta T=1.0\times 10^{-6}$ from the critical point. The horizontal dashed line denotes the exact value of $Z_{-1}/Z_{1}$ for 2D Ising CFT. The computation is done by the BTRG with the bond d