[論文レビュー] Tentative d'épuisement de la cohomologie d'une variété de Shimura par restriction à ses sous-variétés

Nicolas Bergeron|ArXiv.org|Mar 24, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、サブ多様体への制限写像を用いてシムーラ多様体のコホモロジーを研究し、表現論と一般化されたリトルウッド・リチャードソン係数を用いて、強みのとれたコホモロジー類における制限写像の積の単射性の基準を証明する。クローベルとヴェナタラマナの正則コホモロジーに関する結果を回復・拡張し、ホッジ予想および特定のシムーラ多様体におけるコホモロジーの消滅に応用する。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected semisimple group over ${\Bbb Q}$. Given a maximal compact subgroup $K\subset G({\Bbb R})$ such that $X=G({\Bbb R})/K$ is a Hermitian symmetric domain, and a convenient arithmetic subgroup $Γ\subset G({\Bbb Q})$, one constructs a (connected) Shimura variety $S=S(Γ)=Γ\backslash X$. If $H\subset G$ is a connected semisimple subgroup such that $H({\Bbb R})\cap K$ is maximal compact, then $Y=H({\Bbb R})/K$ is a Hermitian symmetric subdomain of $X$. For each $g\in G({\Bbb Q})$ one can construct a connected Shimura variety $S(H,g)=(H({\Bbb Q})\cap g^{-1}Γg)\backslash Y$ and a natural holomorphic map $j_g \colon S(H,g) o S$ induced by the map $H({\Bbb A}) o G({\Bbb A}), h\mapsto gh$. Let us assume that $G$ is anisotropic, which implies that $S$ and $S(H,g)$ are compact. Then, for each positive integer $k$, the map $j_g$ induces a restriction map $$R_g \colon H^{k}(S, {\Bbb C}) o H^{k}(S(H,g), {\Bbb C}).$$ In this paper we focus on classical Hermitian domains and give explicit criterions for the injectivity of the product of the maps $R_g$ (for $g$ running through $G({\Bbb Q})$) when restricted to the strongly primitive (in the sense of Vogan and Zuckerman) part of the cohomology. In the holomorphic case we recover previous results of Clozel and Venkataramana. We also derive applications of our results to the proofs of new cases of the Hodge conjecture and of new results on the vanishing of the cohomology of some particular Shimura variety.

研究の動機と目的

• コンパクトなシムーラ多様体のコホモロジー構造を、そのサブ多様体への制限を研究することによって理解すること。
• シムーラ多様体からそのサブ多様体への制限写像の積が、コホモロジーの強みのとれた部分に単射となる条件を特定すること。
• コホモロジーのバガン＝ツッカーマン分解を、シムーラ多様体上に自然に定義されるベクトルバンドルのチャーン類によって定義される分解と関連付けること。
• これらの結果を用いて、ホッジ予想の新しいケースを証明し、特定のシムーラ多様体におけるコホモロジーの消滅定理を確立すること。

提案手法

• マツシマの公式を用いて、コホモロジー問題をリー代数上の表現論的計算に還元する。
• バガン＝ツッカーマンの離散的系列表現の分類を適用し、コホモロジーを強みのとれた成分に分解する。
• 一般化されたリトルウッド・リチャードソン係数を定義し、制限下でのコホモロジー表現の構造を分析する。
• 対称空間 X 上に自然なベクトルバンドルを、ユニバーサルバンドルを Γ の作用で割ったものとして構成し、そのチャーン類を用いてコホモロジーの幾何的分解を定義する。
• コホモロジー類が包拡多様体内に写される像を分析するために、制限写像の積 j_g: S(H,g) → S を用いる。
• ヴェナタラマナの最近の結果を活用し、制限写像の積の単射性基準を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シムーラ多様体からそのサブ多様体への制限写像の積が、強みのとれたコホモロジー類に単射となる条件は何か？
• RQ2 コホモロジーのバガン＝ツッカーマン分解は、シムーラ多様体上に自然に定義されるバンドルのチャーン類によって定義される分解とどのように関係するか？
• RQ3 制限写像は、コホモロジーの正則部分に属するすべての強みのとれたコホモロジー類を検出できるか？
• RQ4 サブ多様体への制限写像は、元のシムーラ多様体のコホモロジーをどの程度まで尽くすか？
• RQ5 単射性基準の結果は、ホッジ予想および特定のシムーラ多様体におけるコホモロジーの消滅にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 古典的ヘルミート型領域に制限した場合、H^k(S, ℂ) から H^k(S(H,g), ℂ) への制限写像の積 R_g は、強みのとれたコホモロジー部分に単射である。
• 本稿は、パルタサラシーの正則コホモロジーの分解に関する結果を回復し、わずかに是正する。この結果は、トーティカルバンドルのチャーン類に基づくものである。
• 正則コホモロジー部分に対しては、シムーラ型のサブ多様体への制限写像は恒等的にゼロである。これは、正則コホモロジーが通常の意味でサブ多様体によって検出されないことを示している。
• シムーラ多様体の正則コホモロジーは、二つのヤング図形の族から完全に生じる：一つは r (0 ≤ r ≤ p) でインデックス付けされ、もう一つは s (0 ≤ s ≤ p−1) でインデックス付けされ、r = p−1 および r = p−2 で重複する。
• シムーラ多様体のコホモロジーは、これらのヤング図形に対応する二つの表現族によって完全に記述され、追加の成分は存在しない。
• これらの結果は、ホッジ予想の新しいケースを示し、非アニュラティブラ型の場合の特定の算術的部分群におけるコホモロジーの消滅を確立する。