[論文レビュー] Termination Analysis of Probabilistic Programs through Positivstellensatz's

Krishnendu Chatterjee, Hongfei Fu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Formal Methods in Verification参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、多項式の条件式と代入を伴う非決定的確率的プログラムの確実終了および有限終了を解析するため、多項式ランク付きスーパーマルティングレーム（pRSM）を導入する。ポジティブステルンザの定理（プティナール、シュミューデン、ハンドルマン）を活用することで、平方和最適化を用いた効率的かつ半完全なpRSMの合成が可能となり、線形手法では失敗する複雑なプログラムにおいても優れた性能を発揮する。

ABSTRACT

We consider nondeterministic probabilistic programs with the most basic liveness property of termination. We present efficient methods for termination analysis of nondeterministic probabilistic programs with polynomial guards and assignments. Our approach is through synthesis of polynomial ranking supermartingales, that on one hand significantly generalizes linear ranking supermartingales and on the other hand is a counterpart of polynomial ranking-functions for proving termination of nonprobabilistic programs. The approach synthesizes polynomial ranking-supermartingales through Positivstellensatz's, yielding an efficient method which is not only sound, but also semi-complete over a large subclass of programs. We show experimental results to demonstrate that our approach can handle several classical programs with complex polynomial guards and assignments, and can synthesize efficient quadratic ranking-supermartingales when a linear one does not exist even for simple affine programs.

研究の動機と目的

• 特に多項式の条件式と代入を伴う確率的プログラムに対して、非線形ランク付きスーパーマルティングレームのアルゴリズム的合成に関するギャップを埋める。
• 線形ランク付きスーパーマルティングレーム（LRSM）を一般化して多項式ランク付きスーパーマルティングレーム（pRSM）を導入し、線形手法が失敗する複雑な確率的プログラムを扱えるようにする。
• ポジティブステルンザの定理と平方和最適化を用いて、pRSMの合成を健全かつ半完全に行う手法を開発する。
• 従来の手法が失敗する、非線形ダイナミクスや有界領域を有する古典的確率的プログラムに対して、有効性を実証する。
• 非決定性と多項式更新を有する確率的プログラムの自動終了性解析のためのスケーラブルで効率的なフレームワークを提供する。

提案手法

• 線形ランク付きスーパーマルティングレームの一般化として、ランク関数を線形ではなく多項式とする多項式ランク付きスーパーマルティングレーム（pRSM）を導入する。
• 半代数的集合上での多項式の非負性を証明するために、プティナール、シュミューデン、ハンドルマンのポジティブステルンザの定理を用いて、合成問題を平方和（SOS）最適化問題に定式化する。
• pRSMの条件を多項式不等式および等式の系に変換し、それを半正定値計画法（SDP）として表現する。このSDPはSOSTOOLSおよびCPLEXを用いて解ける。
• 数値的検証ステップを導入：等式制約における最大誤差が固定しきい値（例：ε = 1）未満であることを確認することで、有界領域内での正しさを保証する。
• SOSプログラミングにおける自明な解を回避し、数値的安定性を向上させるために、制約C2を変更（η(ℓ, x) ≥ 1 に変更）する。
• 行列の半正定値性を確認する代替手法として、シルベスターの基準を適用するが、主な手法はSOSに基づくポジティブステルンザに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非決定的確率的プログラムに多項式の条件式と代入を伴う多項式ランク付きスーパーマルティングレームを体系的に合成できるか？
• RQ2 提案手法は、線形ランク付きスーパーマルティングレームが存在しないような広範な確率的プログラムクラスに対し、健全かつ半完全か？
• RQ3 プティナール、シュミューデン、ハンドルマンのポジティブステルンザに基づく推論が、実用的なpRSMの自動合成に効果的に適用可能か？
• RQ4 非線形ダイナミクスを有するプログラムに対して、pRSM合成手法の性能とスケーラビリティは、従来の線形手法と比べてどのように差がつくか？
• RQ5 本手法は、確実終了性に加えて、濃度バインディングや有限終了性の性質を扱えるか？

主な発見

• 線形ランク付きスーパーマルティングレームが存在しないプログラム（例：ギャンブラーの破綻、非線形境界を有するランダムウォーク）に対しても、本手法は二次のpRSMを効果的に合成できた。
• ロジスティック写像を除くすべてのテスト例において、従来の手法が失敗する状況でも、本手法は終了性解析を達成した。これは、線形手法では必要な非線形減衰を捉えられないためである。
• 実験結果から、本手法は効率的にスケーリング可能であることが示された。ネストドループやギャンブラーの破綻バージョンを含むすべての例が、CPLEXおよびSOSTOOLSを用いて0.02秒未満で解決された。
• 等式制約における最大数値誤差は、10⁻⁷未満で一貫して維持され、有界領域内でのSOS解の正しさが検証された。
• remark 6 により、pRSMが存在する場合、特定の条件下で本手法がそれを発見できることを示しており、大半のプログラムクラスにおいて半完全性が保証されている。
• ロジスティック写像の例では、本手法は線形計画法に帰着するが、[15, 48]のような従来手法は半正定値計画法を必要としており、本手法は顕著な性能優位性を示した。