[論文レビュー] Termination criteria for inexact fixed point methods

Philipp Birken|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、不正確な固定点反復における標準的でない相対的終了基準を提案し、内側の線形系の解法精度にかかわらず正確解への収束が保証されることを証明している。この基準を用いることで、標準的な相対的または絶対的基準とは異なり、非常に効率的で粗い内側反復が可能となり、特に流体-構造連成問題や偏微分方程式におけるピカード法やディリクレ＝ノイマンスキームにおいて顕著な利点を示す。

ABSTRACT

We analyze inexact fixed point iterations where the generating function contains an inexact solve of an equation system to answer the question of how tolerances for the inner solves influence the iteration error of the outer fixed point iteration. Important applications are the Picard iteration and partitioned fluid structure interaction. We prove that the iteration converges irrespective of how accurate the inner systems are solved, provided that a specific relative termination criterion is employed, whereas standard relative and absolute criteria do not have this property. For the analysis, the iteration is modelled as a perturbed fixed point iteration and existing analysis is extended to the nested case x=F(S(x)).

研究の動機と目的

• 内側の線形系が不正確に解かれる場合に、外側の固定点反復誤差を制御する課題に対処すること。
• 内側の解法に対する異なる終了基準が、外側の固定点反復の収束性と精度に与える影響を分析すること。
• 固定点反復の摂動理論を、x = F(S(x)) の形をとるネストされたスキームに拡張すること。
• 内側の解法の許容誤差に依存しない正確解への収束を保証する終了基準を特定すること。
• ピカード反復や流体-構造連成問題のような応用分野における実装に適した、理論的裏付けのある効率的戦略を提供すること。

提案手法

• 不正確な固定点反復を、不正確な内側の解法に起因する摂動を含む固定点スキームとしてモデル化する。
• S(x) が部分問題を解くものである x = F(S(x)) の形をとるネストされた固定点方程式を扱うために、既存の摂動理論を拡張する。
• 非標準的な相対的終了基準を導入：||r|| / ||f(x)|| ≤ τ_r、ここで r は残差、f(x) は関数値である。
• この基準のもとで、τ_r < 1 であれば、τ_r の値にかかわらず外側の固定点反復が正確解に収束することを証明する。
• 標準的な相対的基準（||r|| ≤ τ_r ||f(x)||）および絶対的基準（||r|| ≤ τ_a）とは対照的に、これらは正確解への収束を保証しないこと。
• 理論的結果を、伝達問題およびピカード反復の数値的検証により検証し、基準ごとに総合的なCG反復回数と固定点反復回数を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内側の解法の許容誤差にかかわらず、外側の固定点反復が正確解に収束するような内側の解法の終了基準を設計できるか？
• RQ2 標準的な相対的および絶対的終了基準が、外側の固定点反復の収束性と精度に与える影響は何か？
• RQ3 ネストされた固定点スキームにおいて、非標準的な相対的終了基準を用いることで、理論的および数値的におよぼされる影響は何か？
• RQ4 なぜ標準的な基準では、内側の解法が粗い場合に正確解への収束を保証できないのか？
• RQ5 終了基準の選択が、流体-構造連成問題やピカード法のような応用分野における計算効率にどのように影響するか？

主な発見

• 提案された非標準的な相対的終了基準（||r|| / ||f(x)|| ≤ τ_r）は、τ_r < 1 であれば、τ_r の値にかかわらず外側の固定点反復が正確解に収束することを保証する。
• 数値的結果から、非標準基準で τ_r = 1e-1 を用いることで、内側のシステムを機械精度まで解いた場合と同等の解の精度が得られ、CG反復回数も大幅に削減された。
• 伝達問題において、非標準基準では Δx = 1/80 時に29,056回のCG反復を要したが、標準的な絶対基準（TOL = 1e-4）では70,848回の反復が必要であった。
• 非標準基準ではTOL = 1e-1のとき解の誤差が8.215e-1であったのに対し、標準的な絶対基準では2.476e-0の誤差を示し、計算コストは高かったにもかかわらず精度が劣っていた。
• 標準的な相対基準（||r|| ≤ τ_r ||f(x)||）では、TOLを厳しくするにつれて内側のシステムをより正確に解く必要があり、結果として反復回数が増加した（TOL = 1e-4では22,769回、TOL = 1e-1では12,204回）。
• 非標準基準は、標準的な絶対基準に比べて最大5倍速く、標準的な相対基準に比べて最大2倍速く、かつより高い精度を達成した。